安徽省皖南八校2014届高三10月第一次联考

数学（文科）试题

一、选择题

1．复数
的虚部是

A．0 B．2 C．
D．

2．已知集合
，则

A．
B．
C．
D．

3．“
”是“函数

在区间
内单调递增”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．下列函数，在其定
义域中，既是奇函数又是减函数的是

A．
B．
C．
D．

5．曲线
在点
处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）

Ａ　
Ｂ　
Ｃ　
Ｄ　

6．已知向量
，则向量
与
的夹角为

A．
B．
C．
D．

7．将函数
的图象向左平移
个单位（
），
是所得函数的图象的一个对称中心，则
的最小值为

A．
B．
C．
D．

8．设P为曲线
上的点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为
，则点P的横坐标的取值范围为

A．
B．
C．
D．

9．在
中，
是
边的中点，角
的对边分别是
，若
，则
的形状为

A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形但不是等边三角形

10．动点
在圆
上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知时间
时,点
的坐标是
,则当
时,动点
的纵坐标
关于
(单位:秒)的函数的单调递增区间是

A、
B、
C、
D、
和

二、填空题

11．
。

12．已知矩形
的边长为2，
，点P在线段BD上运动，则
。

13．已知函数

，设
，若
，则
的取值范围是 。

14．在
中，
分别是
的对边，若
，则
的大小为 。

15．在整数集
中，被5除所得余数为
的所有整数组成一个“类”，记为
，即
，则下列结论正确的为 （写出所有正确的编号）

①
； ②
；③
；④“整数
属于同一类”的充要条件是“
”；⑤命题“整数
满足
，则
”的原命题与逆命题都为真命题。

三、解答题

16．设
。

（1）记
，若
，求集合A；

（2）若
是
的必要不充分条件，求
的取值范围。

17．已知函数
，若
且对任意实数
均有
成立

（1）求
表达式；

（2）当
是单调函数，求实数
的取值范围；

18．已知函数
。

（1）若
，求
的值；

（2）求函数
的单调递增区间。

19．某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A处，用望远镜路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东
方向上，且俯角为
的C处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西
方向上，且俯角为
的D处。（假设客车匀速行驶）

（1）如果此高速路段限速80公里/小时，试问该客车是否超速；

（2）又经过一段时间后，客车到达楼房B的正西方向E处，问此时客车距离楼房B多远。

[来源:学科网ZXXK]

[来源:Zxxk.Com]

20．已知
，其中
，若函数
，且函数
的图象与直线
相邻两公共点间的距离为

（1）求
的值；

（2）在
中．
分别是
的对边，且
，求
的面积。

21．设函数
。

（1）若
时，求
处的切线方程；

（2）当
时，
，求
的取值范围
。

皖南八校2014届高三第一次联考

数学文试卷参考答案

1．B　(1＋i)2＝2i虚部为2.

2．D　A＝{x|y
＝log2(x2－1)}＝{x|x2－1＞0}＝{x|x＞1或x＜－1}，B＝{y|y＝()x－1}＝{y|y＞0}，A∩B＝{x|x＞1}．

3．A　∵当函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[3，＋∞)内单调递增时，对称轴x＝a≤3，∴“a＝3”是“函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[3，＋∞)内单调递增”的充分不必要条件．

4．C　f(x)＝在定义域上是奇函数，但不单调；f(x)＝为非奇非偶函数；f(x)＝－tan x在定义域上是奇函数，但不单调．所以选C.

5．D　∵点(2，e2)在曲线上，∴切线的斜率k＝y′|x＝2＝ex|x＝2＝e2，∴切线的方程为y－e2＝e2(x－2)，即e2x－y－e2＝0，与两坐标轴的交点坐标为(0，－e2)，(1，0)，∴S＝×1×
e2＝.

6．A　因为|a－b|＝＝＝，

所以cos〈a，a－b〉＝＝＝＝，

所以向量a与a－b的夹角为.

7．B　f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin(2x－)，向左平移m个单位
得到g(x)＝2sin [2(x＋m)－]＝2sin(2x＋2m－)，所以g()＝2sin(2×＋2m－)＝2sin(2m＋)＝0，∴2m＋＝kπ，k∈Z，∵m＞0，∴m的最小值为，故选B.

8．D　设点P的横坐标为x0(x0>0)，∵y′＝－x，∴点P处的切线斜率为k＝－x0∈[0，1]，即0≤－x0≤1，得2≤x0≤2.

9．C　由题意知c－a(＋)＋b(－)＝0，

∴(c－)－＝0，∴(c－)＝，

又、不共线，∴∴a＝b＝c.

10．B　依题意可设y关于t(单位：秒)的函数为y＝－sin(ωt＋φ)(ω>0，－π<φ<π)，周期为12，＝12，∴ω＝，∴y＝－sin(t＋φ)，当t＝0时，y＝，sin φ＝－，

又－π<φ<π，∴φ＝－或－，又当φ＝－时，A点坐标为(－，)，不合题意．

∴y＝－sin(t－)求函数的单调增区间，只需求y＝sin(t－)的减区间，2kπ＋≤t－≤2kπ＋，∴12k＋5≤t≤12k＋11，k＝0时，5≤t≤11.

11.　sin＝sin(2π＋)
＝sin＝.[来源:Z.xx.k.Com]

12．2　设AC∩BD＝O，由题可知||＝||＝1，则·＝||||cos∠PAO＝||(2||)cos∠PAO＝2||2＝2.

13．[，2)　画出函数图象如图所示，由图象可知要使a>b≥0，f(a)＝f(b)同时成立，≤b<1，bf(a)＝b·f(b)＝b(b＋1)＝b2＋b＝(b＋)2－

∴
≤b·f(a)<2.

14.＋1　由sin B＋cos B＝，得1＋2sin Bcos B＝2，即sin 2B＝1，∵0

又∵a＝，b＝2，∴在△ABC中，由余弦定理得4＝2＋c2－2ccos＝2＋c2－2c，解得c＝＋1.

15．①③④　依题意2013被5除的余数为3，则①正确；－1＝5×(－1)＋4，则②错误；

整数集就是由被5除所得余数为0，1，2，3，4的整数构成，③正确；假设④中a＝4n1＋m1，b＝4n2＋m2，a－b＝4(n1－n2)＋m1－m2，a，b要是同类，则m1－m2＝0，所以a－b∈[0]，反之也成立；因为a∈[1]，b∈[3]，所以可设a＝5n1＋1，b＝5n2＋3，∴a＋
b＝5(n1＋n2)＋4∈[4]，原命题成立，逆命题不成立，如a＝5，b＝9满足a＋b∈[4]，但是a∈[0]，b∈[4]，⑤错误．

16．解：(1)∵a＝1，∴A＝{x|(x－1)(x－2)≤0}＝{x|1≤x≤2}．(5分)

(2)依题意易得p：1≤x≤2，q：a≤x≤a2＋1.(7分)

∵q是p的必要不充分条件，∴∴a≤－1.(12分)[来源:学科网]

17．解：(1)∵F′(
x)= ax2 +bx+1,

∴f (x)= ax2+bx+1.

∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，

∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.∵f(x)≥0恒成立，

∴∴

∴a＝1，从而b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋1.(6分)

(2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.

∵g(x)在[－2，2]上是单调函数，

∴≤－2或≥2，解得k≤－2，或k≥6.

∴k的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞).(12分)

18．解：(1)由题设知f(x)＝[1＋cos(2x＋)]．

因为f()=0，所以1＋cos(2x0＋)＝0,

cos(2x0＋)＝－1，即x0＝kπ＋π(k∈Z)．

所以g(x0)＝1＋sin 2x0＝1＋sin(2kπ＋)＝. (6分)

(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝[1＋cos(2x＋)]＋1＋sin 2x

＝[cos(2x＋)＋sin 2x]＋＝(cos 2x＋sin 2x)＋

＝sin(2x＋)＋.

当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，

函数h(x)＝sin(2x＋)＋是增函数，

故函数h(x)的单
调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(12分)

19．解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100米，则BC＝100米，

在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝100米，则BD＝100米，

在Rt△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°，

则DC＝＝200米，所以客车速度v＝＝1200米/分钟＝72公里/小时，所以此客车没有超速．(
6分)

(2)在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，

又因为∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°，

所以∠CEB＝45°，

在△BCE中，由正弦定理可知＝，

所以EB＝＝50米．客车距楼房B50米. (13分)

20．解：(1)f(x)＝m·n＝(sinωx＋cosωx，cosωx)·(cosωx－sinωx，2sinωx)＝cos2ωx－sin2ωx＋2sinωxcosωx
＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝2sin(2ωx＋)．(3分)

∵ω＞0，∴函数f(x)的周期T＝＝，

∵函数f(x)的图象与直线y＝2相邻两公共点间的距离为π.

∴＝π，∴ω＝1.(6分)

(2)由(1)可知ω＝1，f(x)＝2sin(2x＋)．

∵f(A)＝1，∴2sin(2A＋)＝1.

∴sin(2A＋)＝，

∵0＜A＜π，∴＜2A＋＜，

∴2A＋＝?A＝.(10分)

由余弦定理知cos A＝