安徽省皖南八校2014届高三10月第一次联考

数学（理科）试题

一、选择题

1．已知复数
，则
在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合
，则

A．
B．
C．
D．

3．若“
”是“
”的充分不必要条件，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

4．设
，则函数
的零点位于区间

A．
B．
C．
D．

5．已知
，则
等于

A．
B
．
C．
D．

6．已知向量
、
满足
，则
的取值范围为

A．
B．
C．
D．

7．已知函数
满足
，且当
时，
，则

A．
B．
C．
D．

8．已知

为等
边三角形，
，设
满足
，若
，则
等于

A．
B．
C．
D．

9．已知函数
，将函数
的图象向左平移
个单位后得到函数
的图象，且
，则

A．
B．
C．
D．

10．函数
的定义域为D,若对于任意
,当
时都有
,则称函数
在D上
为非减函数,设函数
在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个条件:①
;②
;③
,则
等于 ( )

A.
B.
C.1 D.

二、填空题

11．若
，则
。[来源:Z_xx_k.Com]

12．已知函数
，如果存在实数
，使得对任意的实数
都有
，则
的最小值是 。

13．已知函数

，设
，若
，则
的取值范围是 。

14．在
中，
分别是
的对边，已知
，若
，则
的面积等于
。

15．在整数集
中，被5除所得余数为
的所有整数组成一个“类”，记为
，即
，则下列结论正确的为 （写出所有正确的编号）

①
； ②
；③
；④“整数
属于同一类”的充要条件是“
”；⑤命题“整数
满足
，则
”的原命题与逆命题都为真命题。

三、解答题

16．在
中，内角
的对边分别为
，并且
。

（1）求角
的大小； （2）若
，求
。

17．设定义域为
的函数
（
为实数）。

（1）若
是奇函数，求
的值；

（2）当
是奇函数时，证明对任何实数
都有
成立。

18．已知函数
。

（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（2）当
，且
，求函数
的单调区间。

19．如图，在直角坐标系
中，角
的顶点是原点，始边与
轴正半轴重合。终边交单位圆于点
，且
，将角
的终边按逆时针方向旋转
，交单位圆于点
，记
。

（1）若
，求
；

（2）分别过
作
轴的垂线，垂足依次为
，记
的面积为
，
的面积为
，若
，求角
的值。

20．已知函数
和
．其中
．

（1）若函数
与的图像的一个公共点恰好在
轴上，求
的值；

（2）若
和
是方程
的两根，且满足
，证明：当
时，
．

[来源:学科网ZXXK]

21．已知函数
和
，且
。

（1）求函数
，
的表
达式；

（2）当
时，不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围。

皖南八校2014届高三第一次联考

数学理试卷参考答案

1．A　∵z＝＝－i，∴＝＋i，应选A.

2．C　由log2x≥0，x≥1，∴A＝{x|x≥1}，B＝{x|0

3．A　依题意0

4．C　f(x)＝ex＋x－4单调递增，仅有一个零点．又f(1)＝e－3＜0，f(2)＝e2－2＞0, 故函数f(x)的零点位于区间(1，2)．

5．A　∵α∈(0，)，cosα＝，∴sinα＝，

∴cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝×－×＝－.

6．D　由题意知b≠0，设向量a，b的夹角为θ，(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2，1－|b|cos θ－2|b|2＝0，∴cos θ＝，∵－1≤cos θ≤1，∴－1≤≤1，

∴≤|b|≤1.

7．D　由f(x)＝f(π－x)，得函数f(x)的图象关于直线x＝对称，又当x∈(－，)时，f′(x)＝ex＋cos x＞0恒成立，所以f(x)在(－，)上为增函数，f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，且0＜π－3＜1＜π－2＜，所以f(π－3)＜f(1)＜f(π－2)，即f(3)＜f(1)＜f(2)．

8．A　∵＝＋，＝＋，∴·＝(＋)·(＋)

＝·－·－·＋·＝·－λ2－(1－λ)2＋λ(1－λ)·

＝2－4λ－4(1－λ)＋2λ(1－λ)＝2λ(1－λ)－2＝－，∴λ＝.

9．D　∵f(x)＝sin 2xsin ＋cos(cos2x－)＝sin 2xsin ＋cos cos 2x

＝cos(2x－)，

∴g(x)＝cos(2x＋－)，∵g()＝，∴2×＋－φ＝2kπ(k∈Z)，即φ＝－2kπ(k∈Z)，∵0<<π，∴φ＝.

10．B　由f(1－x)＝1－f(x)，令x＝1可得f(1)＝1，

∴f＝f(1)＝.∴f＝f＝.

令x＝代入f(1－x)＝1－f(x)可得f＝，

∴f＝f＝.

由f(x)在[0，1]上是非减函数，且f＝f＝，

∴当≤x≤时，f(x)＝.

∴f＝，∴f＋f＝.

11．(3，4)　2a－b＝(2，4)－(－1，0)＝(3，4)．

12．2π　要使对任意的实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则f(x1)，f(x2)分别为函数的最小值与最大值．由函数图象知|x1－x2|的最小值为半个周期2π.

13．[，2)　画出函数图象如图所示，由图象可知要使a>b≥0，f(a)＝f(b)同时成立，≤b<1，bf(a)＝b·f(b)＝b(b＋1)＝b2＋b＝(b＋)2－

∴ ≤b·f(a)<2.

14.　因为b2＝c(b＋2c)，所以b2－c2＝bc＋c2，(b－c)(b＋c)＝c(b＋c)，∴b＝2c.

由余弦定理得6＝b2＋c2－2bccos A＝5c2－c2，∴c＝2，b＝4.

∴S△ABC＝bcsin A＝4＝.

15．①③④　依题意2013被5除的余数为3，则①正确；－1＝5×(－1)＋4，则②错误；

整数集就是由被5除所得余数为0
，1，2，3，4的整数构成，③正确；假设④中a＝5n1＋m1，b＝5n2＋m2，a－b＝5(n1－n2)＋m1－m2，a，b要是同类，则m1－m2＝0，所以a－b∈[0]，反之也成立；因为a
∈[1]，b∈[3]，所以可设a＝5n1＋1，b＝5n
2＋3，∴a＋b＝5(n1＋n2)＋4∈[4]，原命题成立，逆命题不成立，如a＝5，b＝9满足a＋b
∈[4]，但是a∈[0]，b∈[4]，⑤错误．

16．解：(1) ∵2sin2－(sin C＋＋1)＝0，

∴2cos2－(sin C＋＋1)＝0，(2分)

即2·－(sin C＋＋1)＝0，(3分)

即cos C－sin C＝1，亦即cos(C＋)＝.(5分)

∵C为△ABC的内角，

∴0＜C＜π，∴＜C＋＜.(7分)

从而C＋＝，∴C＝.(8分)

(2)∵a＝2，c＝2，

∴由余弦定理得b2＋(2)2－2×b×2cos＝4.(10分)

即b2－6b＋8＝0，

解得：b＝2或b＝4.(12分)

17．解：(1)(法一)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，

即＝0，∴a＝1，∴f(x)＝，

∵f(1)＝－f(－1)，∴＝－，∴b＝2.(6分)

(法二)因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即