铁岭市第一高级中学2013—2014学年高三上学期期中考试试题

数 学 （理科）

考试时间：120分钟 满分：150分

一．选择题（每题5分）

1．已知复数
，则
在复平面内对应的点位于（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2．设集合
则“
”是“
”的（ ）

A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

3．已知全集U=R，集合
，
，则
=( )

A.
B.
C.
D.

4．已知函数
满足
，则
的最小值（ ）

A.2 B.
C.3 D.4

5．若函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，则
=（ ）

A. 3 B. 2 C.
D.

6．在
中，角A,B,C所对的边
，已知
则C=( )

A.
B.
C.
或
D.

7．数列
中，
且数列
是等差数列，则
=( )

A.
B.
C.
D.

8．已知
是两个互相垂直的单位向量，且
，
，则对任意的正实数t，
的最小值（ ）

A. 2 B.
C. 4 D.

9．设
是定义在R上的可导函数，且满足
，对于任意的正数
，下面不等式恒成立的是（ ）

A.
B.
C.
D.

10．各项都是正数的等比数列
中，
成等差数列，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.
或

11．连续抛掷两次骰子，得到的点数分别为m,n，记向量
的夹角为
，则
的概率是（ ）

A.
B.
C.
D.

12．已知函数
，函数
若存在
，使得
成立，则实数
的取值范围（ ）

A.
B.
C.
D.

二．填空题（每题5分）

13．已知A（-1,1），B(1，2),C(-2，-1),D(3，4),则向量
在
方向上的投影为_________________

14．设
为锐角，若
，则
的值为________________________

15．已知实数x,y满足
若
取得最大值时的最优解（x,y）有无数个，则
的值为______________

16．数列
中，已知对任意
,
，则
___________________

三．解答题（每题12分）

17．已知函数
（1）求
的单调减区间（2）在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边
且满足
,求
的取值范围。

18．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出七名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.

（1）求x和y的值

（2）计算甲班七名学生成绩的方差

（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率。

参考公式：方差
其中

19.已知二次函数
若对于任意
,恒有
成立，不等式
的解集为A.(1)求集合A.(2)设集合
，若集合B是集合A的子集，求
的取值范围。

20．已知函数
（1）讨论函数
的单调性（2）证明：

21．（16分）已知函数
（1）求
在
处切线方程（2）求证：函数
在区间
上单调递减（3）若不等式
对任意的
都成立，求实数
的最大值。

四．选做题（10分）

22．如图，圆O的半径OB垂直于直径AC,M为AO上一点，BM的延长线交圆O于N，过N点的切线交CA的延长线于P（1）求证：
(2)若圆O的半径为
，OA=
OM，求MN的长。

23．已知直线
的参数方程是
（t为参数），圆C的极坐标为

（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标系方程。

（2）若圆上有且仅有三个点到直线
的距离为
，求实数
的值。

24．已知函数
（1）试求使等式
成立的x的取值范围

（2）若关于x的不等式
的解集不是空集，求实数
的取值范围。

2013-2014学年度上学期期中考试高三试题数学理科科答案

ACCBD,BABCA,CA

13.
14.
15.1 16.

17.
（1）
（2）

18.（1）

（2）

19.
由
成立

要使上式成立,所以

由
,解得A=

解得
,因为集合B是集合A的子集,所以
,且

化简得
,解得
,故

20.(1)
,设
,则
且
,

在
上单调递增,当
时,
,从而
单调递减

当
时,
,从而
单调递增。因此，
在
上单调递减，在
上单调递增

（2）证明：原不等式就是
，即

令
，
在
上单调递增

当
时，
， 当
时，

所以当
且
时，

21.

（1）
切线方程

（2）

令

在（0,1）上是减函数

（3）

两边取对数
即

令

设
设

由（2）知函数
在区间
上单调递减

在
上是减函数

在
上是减函数
即

22.（1）证明：

如图，连接ON，则ON
PN，且△OBN为等腰三角形，则

,
根据切割线定理，有

(2)
在
△BOM中，

延长BO交圆O于点D，连接DN。由条件知△BOM∽△BND,于是
,

即MN=BN-BM=6-4=2

23.（1）
（2）

24（1）
又

所以若

（2）