南安一中2014届高三上学期期中考试数学（理）试题

一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 本大题共10小题，每小题5分，共50分.）

1.
为虚数单位，若
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

2. 已知变量
满足
则
的最小值是

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

3. 已知集合
，
，则
的充要条件是

A.
B.
C.
D.

4．为了得到函数
的图象，可以将函数
的图象

A.向右平移
个单位长度 B. 向右平移
个单位长度

C.向左平移
个单位长度 D. 向左平移
个单位长度

5. 设向量
，若
是实数，则
的最小值为

A.
B.
C. 1 D.

6．已知函数
是定义在R上的奇函数,且它的图像关于直线x=1对称,若函数
,则

A．
B．
C．
D．

7．一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图 所示，则该几何体的体积为

A．7 B.
C.
D.

8. 已知
，则
的值是

A．
B．
C．
D．

9. 设函数
的定义域为
，若所有点
构成一个正方形区域，则
的值为

A．
B．
C．
D．不能确定

10.在
中，
，
分别为
中点，
为
上任意一点，实数
满足
，设
的面积分别为
，
取得最大值时，
的值为

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.

11.由曲线
所围成图形的面积是________ 。

12.设向量
，
，若
，则

13. 曲线
在点
处的切线方程为___________________.

14若
对任意
恒意义,则实数
的范围

15.. 关于函数
，下列命题：

①、若存在
，
有
时，
成立；

②、
在区间
上是单调递增；

③、函数
的图像关于点
成中心对称图像；

④、将函数
的图像向左平移
个单位后将与
的图像重合．其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）

三、解答题：本大题共6小题，共80分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

16. （本小题满分13分）已知向量

（I）若
的值；

（II）记
，在
中，角A、B、C的对边分别是
，且满足
，求
的取值范围。

17. （本小题满分13分）已知直三棱柱
中，△
为等腰直角三角形，

∠
＝90°，且
＝
，
、
、
分别为
、
、
的中点．

（I）求证：
∥平面
；

（II）求证：
⊥平面
；

（III）求二面角
的余弦值．

18.（本小题满分13分）已知一家公司生产某种产品的年固定成本为10万元，每生产1千件该产品需另投入2.7万元，设该公司一年内生产该产品
千件并全部销售完，每千件的销售收入为
万元,且
.

写出年利润W(万元)关于年产量
(千件)的函数解析式；

年产量为多少千件时，该公司在这一产品的产销过程中所获得的年利润最大？

19．（本小题满分13分）如图，长方体ABCD－A
B
C
D
中，AA
=
，AB=1，AD=
，E为BC中点，且∠AEA
恰为二面角A
－ED－A的平面角.

（1）求证：平面A
DE⊥平面A
AE；

（2）求异面直线A
E、CD所成的角；

（3）设△A
DE的重心为G，问是否存在实数
，

使得
=

，且MG⊥平面A
ED同时成立？若存在，求出
的值；

若不存在，说明理由.

20．（本小题满分14分）已知函数
满足
,当
时,

,当
时,
的最大值为-4．

(I)求实数
的值；

(II)设
，函数
，
．若对任意的
,总存在
,使
,求实数
的取值范围．

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．

（1）选修4—2：矩阵与变换．在平面直角坐标系xOy中，直线
在矩阵
对应的变换下得到的直线过点
，求实数
的值．

（2）选修4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆
（
）与直线
相切，求实数a的值．

（3）选修4—5：不等式选讲

已知正数
，
，
满足
，求证：
．

南安一中2013～2014学年度上学期期中考理科试卷参考答案

一、填空题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

A

A

B

B

C

D

C

B

B



二、填空题

=
．…………6分

（2）∵（2a-c）cosB=bcosC,

由正弦定理得
,

故f（A）的取值范围是（2,3）…………13分

17. 解：方法1：如图建立空间直角坐标系O—xyz，令AB＝AA1＝4，

则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），

B1（4，0，4），D（2，0，2）， …………（2分）

（I）
（
，4，0），面ABC的法向量为
（0，0，4），

∵

，
平面ABC，

∴DE∥平面ABC． …………（4分）

（II）

…………（6分）

∴

∵
…………（8分）

（III） 平面AEF的法向量为
，设平面 B1AE的法向量为

即
…………（10分）

令x＝2，则
∴

∴二面角B1—AE—F的余弦值为
…………（13分）

18.

综合①②知：当
时，W取得最大值为38.6万元，

故当年产量为9千件时，该公司在这一产品的产销过程中所获的年利润最大．

19. 如图建立空间直角坐标系，则

（1）
为二面角A
－ED－A的平面角.

，
4分

（2）

为二面角A
－ED－A的平面角.
，即

，取AD中点F，则

，

所以
，即异面直线A
E、CD所成的角为
8分

（3）依题意

假设存在
满足题设条件，则
且
 即

13分

（II）设
的值域为A，
的值域为B，则由已知，对于任意的


，使
得，
． ……………．9分

由（I）
=-1，当
时,
,
,

∵
,∴
，
在
上单调递减函数,

∴
的值域为 A=
………．．10分∵
,

∴（1）当
时，
在
上是减函数，此时，
的值域为
，

为满足
，又
∴
即
． …………．12分

（2）当
时，
在
上是单调递增函数，此时，
的值域为
，为满足
，又,∴
,∴
,

综上可知b的取值范围是
． …………．14分

21. 解：设变换T：
，则
，即
………………3分

代入直线
，得
．将点
代入上式，得k
4．………………………7分

解：将圆
化成普通方程为
，整理，得
．

将直线
化成普通方程为
． …………………………4分

由题意，得
．解得
．…………………………… 7分

证明：

……………………3分

（当且仅当
时等号成立）． …7分