铁岭市第一高级中学2013—2014学年高三上学期期中考试试题

数 学（文科）

时间：120分钟 满分：150分 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．

第I卷

一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合
，
，若
，则
的值为（ ）

A．0 B．1 C．
D．

2．复数
为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是 ( ）

3.
为等差数列
的前
项和，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．
4 .下列说法正确的是（ ）

A．命题“

，
”的否定是“

，
”

B．命题 “已知

，若
，则
或
”是真命题

C．“
在
上恒成立”
“
在
上恒成立”

D．命题“若
，则函数
只有一个零点”的逆命题为真命题

5.设函数
,则D(x) （　　）

A．是偶函数而不是奇函数 B．是奇函数而不是偶函数

C．既是偶函数又是奇函数 D．既不是偶函数也不是奇函数

6.已知


则
与
的夹角为 ( )

7.已知
,
,则
的值等 （　　）

A．
. B．
. C．
. D．
.

8.．若
，
，
，如果有
，

，则
的值为（ ）

0


1

9.设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f(2—x)+f(x)=0恒成立.如果实数m、n满足不等式组
’则m2+n2的取值范围是 （　　）

A．(3,7) B．(9,25) C．(13,49) D．(9,49)

10.定义在
上的函数
满足
，
为
的导函数，已知
的图像如图所示，若两个正数
、
满足
，则
的取值范围是 ( )

A．
B．

C．
D．

11.数列
的首项为
，
为等差数列且
.若则
，
，则
( )

（A）0 （B）3 （C）8 （D）11

12.定义在R上的函数
满足f(1)=1,且对任意x∈R都有
,则不等式
的解集为 （　　）

A．(1,2) B．(0,1) C．(1,+∞) D．(-1,1)

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．

二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷卡的相应位置上

13.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为
,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取_____名学生.

14.已知数列{an}中，a1＝1，以后各项由公式an＝an－1＋(n≥2，n∈N*)给出，则a4＝　　　　

15.
的外接圆的圆心为
，半径为
，
0且
，则向量
在
方向上的投影为__ ______

16.已知函数f(x)＝cos x＋x，x∈，sin x0＝，x0∈，那么下面命题中真命题的序号是________

①f(x)的最大值为f(x0)；②f(x)的最小值为f(x0)

③f(x)在上是增函数；④f(x)在上是增函数

三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分12分)

为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成
五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．

（Ⅰ）求实数
的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；

（Ⅱ)根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年

级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀

的概率；

（Ⅲ）若从此次测试成绩最好和最差的两组男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．

18.(本小题满分12分)在
中，已知内角
，边
．设内角
，周长为
．

求函数
的解析式和定义域； （2）求
的最大值.

19.(本小题满分12分)解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.

20.（本小题满分12分）

已知函数

在
上是增函数

(1)求实数
的取值集合

（2）当
取值集合
中的最小值时，定义数列
；满足
且
，
，求数列
的通项公式。

（3）若
，数列
的前
项和为
，求证：

21．（本小题满分12分）已知函数

（1）当
时，求函数
的单调区间和极值。

（2）若函数
在[1，4]上是减函数，求实数
的取值范围.

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，

连结EC、CD.

（Ⅰ）求证：直线AB是⊙O的切线；

（Ⅱ）若tan∠CED=
,⊙O的半径为3，求OA的长.

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知直线是过点
，方向向量为
的直线，圆方程

（1）求直线的参数方程

（2）设直线与圆相交于
两点，求
的值

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知
(a是常数，a∈R)

（Ⅰ）当a=1时求不等式
的解集．

（Ⅱ）如果函数
恰有两个不同的零点，求a的取值范围．

2013—2014学年度上学期期中考试高三试题

数学（文科）参考答案与评分标准

一．选择题

AABBA CDDCC BD

二.填空题 13.20 14.7/4 15.
16. ①③

17.

解：（Ⅰ）由题意可知
，解得
.

所以此次测试总人数为
．

答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人． ……………………4分

(Ⅱ)由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为
，则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为
． ……………………8分

（Ⅲ）设事件A：从此次测试成绩最好和最差的两组男生中随机抽取2名学生来自不同组．

由已知，测试成绩在
有2人，记为
；在
有6人，记为
．

从这6人中随机抽取2人有

，共15种情况．

事件A包括
共8种情况． 所以
．

答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率为
． ……………………………12分

18.解：（1）
的内角和
，由
得
．

应用正弦定理，知
，
．----------------6分

因为
， 所以
，

（2）因为

，

所以，当
，即
时，
取得最大值
． -----------12分

19．(本小题满分12分)解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.

解析：　因为ax2－(a＋1)x＋1＜0?(ax－1)(x－1)＜0

(1)当a＝0时，(ax－1)(x－1)＜0?－x＋1＜0?x＞1； 2分

(2)当a＜0时，(ax－1)(x－1)＜0?(x－1)＞0

?x＜或x＞1；---------------------------- -----6分

(3)当a＞0时，(ax－1)(x－1)＜0?(x－1)＜0

因为－1＝＝－

①当－＜0即a＞1时，

＜1，(ax－1)(x－1)＜0?＜x＜1.

②当－＝0，即当a＝1时，不等式的解集为?.

③当－＞0，即0＜a＜1时，

1＜，(ax－1)(x－1)＜0?1＜x＜；------------------11分

综上所述：原不等式的解集为：

当a＜0时为；

当a＝0时为{x|x＞1}；当0＜a＜1时为；

当a＝1时为?；当a＞1时为.------------12分

20．（1）因为函数
在
上是增函数

只需
在
满足
恒成立

21．【解析】（1）函数
的定义域为（0，+∞）。

当
时，
2分

当
变化时，
的变化情况如下：











-

0

+







极小值






的单调递减区间是
；单调递增区间是
。

极小值是
6分

（2）由
，得
8分

又函数
为[1，4]上的单调减函数。

则
在[1，4]上恒成立，

所以不等式
在[1，4]上恒成立，

即
在[1，4]上恒成立。 10分

设
，显然
在[1，4]上为减函数，

所以
的最小值为

的取值范围是
12分

：

24．解：（Ⅰ）

∴
的解为
． 5分

（Ⅱ）由
得,

． 7分

令
,
,作出它们的图象，可以知道，当
时，

这两个函数的图象有两个不同的交点，

所以，函数
有两个不同的零点． 10分