高三上学期期中考试数学（文）试题

一、选择题（每小题5分,共60分）

1．已知集合M={x|
}，N={x|
}，则M∩N= （ ）

A．{x|-1≤x＜1} B．{x |x>1} C．{x|-1＜x＜1} D．{x|x≥-1}

2．过点
且垂直于直线
的直线方程为 （ ）

A．
B．

C．
D．

3．“|x|<2”是“x2-x-6<0”的 （ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 （ ）

A．
B．

C．
D．

5．抛物线
的焦点到准线的距离是 （ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知
是x的增函数，则a的取值范围是 （ ）

A．（0，2） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，+∞）

7．过点
的直线
将圆
分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线
的方

程是 （ ）

A．
B．
C．
D．

8．当0

9．设双曲线
的左、右焦点分别是
、
，过点
的直线交双曲线右支于不同的两点
、
．若△
为正三角形，则该双曲线的离心率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

10．定义在
上的可导函数
满足
且
，则
的解集为

（ ）

A．
B．
C．
D．

11．过椭圆
+
=1（0

的最大面积是 （ ）

A．ab B．ac C．bc D．b2

12．若函数f (x) = x

在(1，+∞)上是增函数，则实数p的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（每小题4分,共16分）

13．曲线y=x3在点P(1,1)处的切线方程为 ．

14．已知椭圆
上的一点
到椭圆一个焦点的距离为
，则
到另一焦点距离为_________．

15．函数
（a>0，且a≠1）的图像过一个定点，则这个定点坐标是_________．

16．在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)=f(2－x)，若f(x)在区间[1，2]上是减函数，

则f(x)在区间[4，5]上是_________（填增.减）函数．

三、解答题（共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）已知函数
，若在
图象上的点
处的切线斜率为
，

(Ⅰ) 求a ,b的值．

(Ⅱ) 求
的极大、极小值．

18．（本小题满分12分）已知曲线
上任意一点P到点
的距离等于到
的距离，设直线
与曲线
交于
、
两点，且

,

(Ⅰ) 求曲线
的方程．

(Ⅱ) 求直线
的方程．

19．（本小题满分12分）设函数
.

(Ⅰ) 求f（x）的单调区间．

(Ⅱ) 若当x∈[－2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围.

20．（本小题满分12分）在边长为60cm的正方形铁皮的四角上切去相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？

21．（本小题满分12分）已知曲线
上任意一点P到两个定点F1(-
，0)和F2(
，0)的距离之和为4．

(Ⅰ) 求曲线
的方程．

(Ⅱ) 设过(0，-2)的直线
与曲线
交于C、D两点，若以CD为直径的圆过坐标原点，求直线
的方程．

22．（本小题满分14分）已知x=1是
的一个极值点

（1）求
的值； （2）求函数
的单调增区间；

（3）设
，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由。

南安一中2013～2014学年度高三上学期期中考

数学科试卷（文科）参考答案

一、选择题：（5×12=60）

二、填空题：（4×4=16）

13．
； 14．
； 15．
； 16．
.

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

解: (Ⅰ)
∴
① …………………2分

又
在
图象上,∴
即
② …………………4分

由①②解得
， …………………6分

(Ⅱ)由（1）可知

∴
解得
或3. …………………8分







3







+

0

-

0

+





↗

极大值

↘

极小值

↗



 ∴
。 …………………12分

18．（本小题满分12分）

解：(Ⅰ)由抛物线的定义可知，曲线
是以
为焦点，
为准线的抛物线，
，

因此曲线
的方程是
…………………3分

(Ⅱ)将
代入
得

设
则

且
+
=
,

=
…………………6分

由
…………………9分

解得
满足
， …………………11分

所求直线方程是
…………………12分

20．在边长为60cm的正方形铁皮的四角上切去相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？

解：设方底箱子箱底的边长为xcm，则高为
cm，箱子的容积为

，由
，得
。…………………4分

。…………………5分

当
时，
；

当
时，
；

当
时，
。 …………………9分

因此当
时，
。…………………11分

所以箱底的边长是40cm时，箱子的容积最大,最大容积是16000cm3。…………………12分

∵以CD为直径的圆过坐标原点，∴
，

∴
． …………………………9分

　 ∵
，
，

∴
．

　 ∴
．………… ②

将①代入②，得
．

即
，解得，
或
，满足
． …………………………11分

所以，直线
的方程是
． …………………………12分

22、已知x=1是
的一个极值点

（1）求
的值； （2）求函数
的单调增区间；

（3）设
，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由。

当
时，
，

∴h(x)在（0，2）上单调递减，在（2，
）上单调递增，
的极小值（也是最小值）为
，又
，
，
……12分

∴h(x)与x轴有两个交点 …………………13分

∴过点（2，5）可作2条曲线y=g(x)的切线. …………………14分