一、选择题

1．复数
等于（ ）

A. 0 B. i C.-i D.1+i

2．执行如图所示的程序框图，输出结果S=（ ）

A. 1006 B.1007 C.1008 D.1009[来源:]

3．已知等比数列{am}的前m项和为Sm，若S
=4（a1+a3+a5+…+a2m-1）,a1a2a3=27,则a6=（ ）

A.27 B.81 C. 243 D.729

4．“a≥0”是“函数
在区间（－∞，0）内单调递减”的（ ）

A.充要条件 B.必要不充分条件

C.充分不
必要条件 D.即不充分也不必要条件

5．设
，
，
是空间任意的非零向量，且相互不共线，则以下命题中：

①（
·
）·
－（
·
）·
=0；②
；③
.

真命题的个数是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

6．在区域D：
内随机取一个点，则此点到点A(1，
2)的距离大于2的概率是（ ）

A.
B.
C.
D.

7．设实数x，y满足不等式组
，则
的最大值为 .

8．
（）

（A）
（B）
（C）
（D）

9．已知双曲线

的离心率为
，则
的渐近线方程为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

10．设首项为
，公比为
的等比数列
的前
项和为
，则（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

二、填空题

11．过点（－1,1）与曲线
相切的直线有 条（以数字作答）.

12．设
满足约束条件
，则
的最大值为______。

13．设当
时，函数
取得最大值，则
______.

14．设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m），则该几何体的体积为__________m3．

15．已知向量
，
满足｜
｜＝1，｜
｜＝2，
a与b的夹角为60°，则｜－
｜＝__________．

三、解答题

16．（本小题满分共12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：

服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
[来源:学*科*网Z*X*X*K]

2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4[来源:Z。xx。k.Com]

服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4

1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5

（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果来看，哪种药的效果好？

（2）完成茎叶图，从茎叶图来看，哪种药疗效更好？

17．等差数列{am}的前m项和为Sm，已知S3=
，且S1，S2，S
4成等比数列，

（1）求数列{am}的通项公式.

（2）若{am}又是等比数列，令bm=
，求数列{bm}的前m项和Tm.

18．（本小题满分12分）如图，三棱柱
中，
，
，
。

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）若
，
，求三棱柱
的体积。

19．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
，
.

（Ⅰ）当
时，求不等式
的解集；

（Ⅱ）设
，且当
时，
，求
的取值范围。

20．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交于BC于点E，AB＝2AC．

（Ⅰ）求证：BE＝2AD；

（Ⅱ）当AC＝1,EC＝2时，求AD的长．

21．(本小题满分12分)已知圆
，圆
，动圆
与圆
外切并且与圆
内切，圆心
的轨迹为曲线
。

（
Ⅰ）求
的方程；

（Ⅱ）
是与圆
，圆
都相切的一条直线，
与曲线
交于
，
两点，当圆
的半径最长是，求
。

参考答案

【解析】

试题分析：对于①，
，
是不共线的两个非零向量，又
·
与
·
均不为零，所以①假命题；对于②
，因为三角形两边之和大于第三边，所以②是真命题；对于④是假命题.故选B.

考点：1.向量的运算；2.向量数量积的几何意义.

6．A

【解析】

试题分析：区域D的面积为4
，在区域D的点到点A(1，2)的距离不大于2的面积为2×（
－
）=2×（
-
）
=2（

），所求的概率为
=
，故选A.

考点：几何概型

7．8

【解析】

试题分析：不等式组的可行域如图13题△ABC及内部所示，

当目标函数
过点B(5，3)时，z取最大值，最大值为5+3=8.



考点：线性规划的最优解.

8．B；

【解析】
.

【学科网考点定位】本题考查复数的基本运算，考查学生的基本运算能力.

9．C；

【解析】
，故
，即
，故渐近线方程为
.

【学科网考点定位】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.

10．D；

【解析】解法一：由等比数列公式可知，
，
，对照两式可知选D；

解法二：若
，当
时，
，当
时，
，
，两式对减，得
，故选D.

【学科网考点定位】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式，考查学生的基本运算能力以及转化与化归能力.

11
．2

【解析】

试题分析：
=
，(-1,1)曲线上，若（－1,1）不是切点设切点为（
），那么直线l的斜率就是
=
，即
=x2-2x，解得 x=1或-1（舍），所以切点为（1，-1），斜率为-1，切线方程为y=－（x-1）-1；若（－1,1）是切点，则k=2，切线方程为y=2（x+1）+1，所以由2条切线.

考点：导数和曲线的切线.

12．3；

【解析】做出可行域可知，当
的时候
有最大值3.

【学科网考点定位】本题考查线性规划知识，考查学生的数形结合能力以及逻辑推理能力.

13．
；

【解析】
.

【学科网考点定位】本题考查三角恒等变换，考查学生对概念的理解

14．

【解析】

试题分析：这是一个三棱锥，高为2，底面三角形一边为4，这边上的高为3，它的体积等于
，故答案为：4

考点：三视图求体积，三视图的复原，考查学生空间想象能力.

15．

【解析】

试题分析：
，
．

考点：本题向量的运算，考查学生的基本运算能力．

16．（1）服用A药睡眠时间平均增加2.3；服用B药睡眠时间平均增加1.6；从计算结果来看，服用A药的效果更好；

（2）

A药



B药



6

0．

8 9 5 6 5



2 5 8 2 5

1．

7 9 2 3 4 6 8 1 2



7
8 2 3 5 6 7 9 3 4

2．

4 6 1 5 7



2 5 0 1 [来源:Z&xx&k.Com]

3．

2



从茎叶图来看，A的数据大部分集中在第二、三段，B的数据大部分集中在第一、二段
，故A药的药效好.

【解析】（1）利用平均数公
式进行计算；（2）绘制茎叶图，进行观察.

【学科网考点定位】本题考查茎叶图、利用样本数据估计总体，考查学生的数据处理能力.

17．（1）am=3或am=2m-1 （2）Tm=

【解析】

试题分析：
（1）首先根据等差数列的性质，把已知条件转化为关于a2的方程，解出a2的值，然后再根据等比数列的性质，结合已知条件列出关于a2、d的方程，求出公差d即可求出通项公式；（2）

试题解析：（1）设数列{am}的公差为d，由S3=
，可得3a2=
，解得a2=0或a2=3.

由S1，S2，S4成等比数列，可得
,由
，故
.

若a2=0
，则
，解得d=0.此时Sm=0.不合题意；

若a2=3，则
，解得d=0或d=2，此时am=3或am=2m-1.

（2）若{am}又是等比数列，则Sm=3m，所以bm=
=
=
，

故Tm=（1－
）+（
－
）+（
－
）+…+（
）=1－
=
.

考点：1.等差数列和等比数列的性质以及等差数列的通项公式；2.数列的前m项和求法—裂项法.

18．（1）取AB的中点O，连接
、
、
，因为CA=CB，所以
，由于AB=A A1，∠BA A1=600，所以
，所以
平面
，因为
平面
，所以AB⊥A1C；

（2）因为
因为
为等边三角形，所以
，底面积
，所以体积

【解析】（1）构造辅助线证明线面垂直，进而得到线线垂直；（2）利用体积公式进行求解.

【学科网考点定位】本题考查线面垂直的判定、线面垂直的性质以及三棱柱的体积公式，考查学生的化归与转化能力以及空间想
象能力.

19．[来源:Zxxk.Com]

（1）当
时，令
，作出函数图像可知，当
时，
，故原不等式的解集为
；

（2）依题意，原不等式化为
，故
对
都成立，故
，故
，故
的取值范围是
.

【解析】（1）构造函数
，作出函数图像，观察图像可知结论；（2）利用分离参数法进行求解.

【学科网考点定位】本题考不等式的解法，考查学生数形结合的能力以及化归与转化思想.

20．（Ⅰ）详见解析;（Ⅱ）
.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要证明
,注意到
是
的平分线，等角对等弦,可连接
,则
,可证
,又因为
,可证
即可, 由圆内接四边形的性质可证;（Ⅱ）根据割线定理,建立
的方程,解出
即可.

试题解析：（Ⅰ）连接
,因为
是圆的内接四边形，所以
，又
，所以
，即有
，又
，所以
，又
是
的平分线，

所以
，从而
.

（Ⅱ）由条件的
设
，根据割线定理得
,即
，所以
即

解得
，或
（舍去），即

考点：本小题考查割线定理，相似三角形，等角对等弦，圆内接四边形,考查分析问题、解决问题的能力,及推理论证能力．

21．
依题意，圆M的圆心
，圆N的圆心
，故
，由椭圆定理可知，曲线C是以M、N为左右焦点的椭圆（左顶点除外），其方程为
；

（2）对于曲线C上任意一点
，由于
（R为圆P的半径），所以R=2，所以当圆P的半径最长时，其方程为
；

若直线l垂直于x轴，易得
；

若直线l不垂直于x轴，设l与x轴的交点为Q，则
，解得
，故直线l：
；有l与圆M相切得
，解得
；当
时，直线
，联立直线与椭圆的方程解得
；同理，当
时，
.

【解析】（1）根据椭圆的定义求出方程；（2）先确定当圆P的半径最长时，其方程为
，再对直线l进行分类讨论求弦长.

【学科网考点定位】本题考查椭圆的定义、弦长公式、直线的方程，考查学生的运算能力、化简能力以及数形结合的能力.