“华安、连城、永安、漳平一中，龙海二中，泉港一中”六校联考

2013-2014学年上学期第二次月考

高三数学（理科）试题

（考试时间：120分钟 总分：150分）

友情提示：要把所有答案写在答题卷上才有效！

一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．

A．
B．
C．
　 D．

2．下列命题中，真命题是

A．
B．

C．
D．

3．对于非零向量
，“
∥
”是“
”成立的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是

A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞)

5．将函数
的图象
向右平移
个单位长度得到图象
，若
的一条对称轴是直线
，则
的一个可能取值是

A．
B．
C．
D．

6．已知点
、
、
不在同一条直线上，点
为该平面上一点，且
，则

A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的反向延长线上

C．点P在线段AB的延长线上 D．点P不在直线AB上

7．已知
是函数
的零点，若
，则
的值满足

A．
B．
C．
D．
的符号不确定8．在△ABC中，角
均为锐角，且
则△ABC的形状是

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形

9．函数
的最大值是

A．
B．
C．4 D．

10．设集合A是实数集R的子集，如果点
满足：对任意
，都存在
使得
，则称
为集合A的聚点.用Z表示整数集，则在下列集合中，

（1）
（2）不含0的实数集R

（3）
（4）整数集Z

以0为聚点的集合有（ ）

A．（1）（3） B．（1）（4） C．（2）（3） D．（1）（2）（4）

二、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分)

11．
▲▲▲ .

12．若
，则
▲▲▲．

213．已知函数
的图像如右图所示，则
▲▲▲ ．

14．曲线
在点
处的切线方程为____▲▲▲ __；

15．已知函数

，设
，若
，则
的取值范围是 ▲▲▲ .

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16.(本题满分13分)

已知
，求下列各式的值：

（I）
；

（II）
.

17．(本题满分13分)

在平面直角坐标系
中，O为坐标原点，已知点A

（I）若
求证：
；

（II）若
求
的值．

18. （本小题满分13分）

已知函数
．

(Ⅰ) 求函数
的最小值和最小正周期；

（Ⅱ）已知
内角
的对边分别为
，且
，若向量
与
共线，求
的值．

19. （本小题满分13分）

已知
且
，函数
，
，记

（I）求函数
的定义域
及其零点；

（II）若关于
的方程
在区间
内仅有一解，求实数
的取值范围.

20. （本小题满分14分）

已知函数
的导函数是
，
在
处取得极值，且

，

（Ⅰ）求
的极大值和极小值；

（Ⅱ）记
在闭区间
上的最大值为
，若对任意的

总有

成立，求
的取值范围；

（Ⅲ）设
是曲线
上的任意一点．当
时，求直线OM斜率的最

小值，据此判断
与
的大小关系，并说明理由．

21.（本小题满分14分）本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。

（I）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换

已知二阶矩阵M有特征值
及对应的一个特征向量
，并且矩阵M对应的变换将点
变换成
，求矩阵M。

（II）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

过点M（3，4），倾斜角为
的直线
与圆C：
（
为参数）相交于A、B两点，试确定
的值。

（III）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

已知实数
满足
，
，试确定
的最大值。

2013-2014学年上学期第二次月考

高三数学（理科）试题参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

B

 B

D

A

B

C

D

A

C





二、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分)

11．
12、
13．
． 214．
15．[，2)

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16.(本题满分13分)

解　由已知得tan α＝. ……………………3分

(1)原式＝＝＝－. ……………………8分

(2) 原式=sin2α＋sin αcos α＋2

＝sin2α＋sin αcos α＋2(cos2α＋sin2α)

＝

＝＝＝. ……………………13分

17.(本题满分13分)

解：（I）

由题设知
……………………2分

所以

……………………4分

因为
所以
故
……………………7分

（II）因为
所以
……………………8分

即

解得
……………………11分

从而
………………13分

18. （本小题满分13分）

解：(Ⅰ)

∴
的最小值为
，最小正周期为
. ………………………………6分

（Ⅱ）∵
， 即

∵
，
，∴
，∴
． ……8分

∵
与
共线，∴
．

由正弦定理
， 得
①…………………………………10分

∵
，由余弦定理，得
， ②……………………11分

解方程组①②，得
． ………………………………13分

19. （本小题满分13分）

解：（1）

（
且
）

，解得
，所以函数
的定义域为

令

，则
……（*）方程变为

，
，即

解得
，
……4分

经检验
是（*）的增根，所以方程（*）的解为
，所以函数
的零点为
.。。。。。6分

（2）
（
）

，

设
，则函数
在区间
上是减函数，当
时，此时
，
，所以
。①若
，则
，方程有解；②若
，则
，方程有解。。。。。13分

20. （本小题满分14分）

解：（I）依题意，
，解得
，　　 ……………………1分

由已知可设
，

因为
，所以
，

则
，导函数
．　　…………………………3分

列表：



1

（1,3）

3

（3，＋∞）





+

0

-

0

+





递增

极大值4

递减

极小值0

递增



由上表可知
在
处取得极大值为
，

在
处取得极小值为
．　………………………………5分

（Ⅱ）①当
时，由（I）知
在
上递增，

所以
的最大值
，　　　　　…………6分

由
对任意的
恒成立，得
，

则
，　　　　　　　

因为
，所以
，则
，

因此
的取值范围是
．　　　　　　………………………………8分

②当
时，因为
，所以
的最大值
，

由
对任意的
恒成立，得
， ∴
，

因为
，所以
，因此
的取值范围是
，

综上①②可知，
的取值范围是
．　　　　　　　　……………………10分

（Ⅲ）当
时，直线
斜率
，

因为
，所以
，则
，

即直线
斜率的