东阳中学2014届高三上学期期中考试数学（理）试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，则
( )

A.
B.
C.
D.

2．已知复数
（其中
，
是虚数单位），则
的值为 ( )

A．
B．
C． 0 D．2

3．已知空间两条不同的直线
和两个不同的平面
，则下列命题中正确的是 ( )

A.若
B.若

C.若
D.若
则

4．已知等差数列
的前
项和为
，若
且A,B,C三点共线（该直线不过点O），则
等于 ( )

A.
　　　　　B.
　　 C.
　　 D.
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5．在△ABC中，“
”是“
”的 ( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知
则
的最小值是　　　　　　　　　　　　　　　　　( )

A．
　　 　 B．
　　　C．2 　　　 D．1

7．已知等比数列
中，各项都是正数，且
成等差数列，则
等于( )

A．
　　 B.
　　 C.
　D.

8．已知两点
为坐标原点，点
在第二象限，且
，设
等于 　　　　　 　　　　　　　　　　( )

A．
B．2 C．
D．1

9．已知
．现有下列不等式：①
；②
；③
；

④
．其中正确的是 ( )

　Ａ． ①② Ｂ． ①③ 　 Ｃ． ②④ 　Ｄ． ③④

10．已知函数
存在区间
，使得函数
在区间
上的值域为
，则最小的
值为 ( )

A．36 B． 9 C．4 D． 1

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．三视图如右的几何体的体积为

12．已知数列
是正项等比数列，若
，
，则数列

的前n项和
的最大值为 ．

13．在面积为2的正
中，E,F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则
的最小值是___________。

14．设偶函数
（

的

部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形（其中K，L为图

象与
轴的交点，M为极小值点），∠KML=90°，KL＝
，则

的值为_______

15.已知集合
，记和
中所有不同值的个数为
．如当
时，由
，
，
，
，
，得
．对于集合
，若实数
成等差数列，则
= ．

16．设
，若对于任意
，总存在

，使得
成立，则
的取值范围是 ．

17．球O与正方体ABCD-A1B1C1D1各面都相切,P是球O上一动点,AP与面ABCD所成角为(,则(最大时,其正切值为 ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

18．（本题满分14分）已知f(x)=2sin(x-)cos(x-)+2cos2(x-)-

（1）求f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的值；

（2）若f(2x)=a，x∈[0,]有两个不等的实根x1，x2，求tan(x1+x2)．

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19. （本题满分14分）在
中，
的对边分别为
且
成等差数列。（1）求
的值；

(2)求
的取值范围。

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20．（本题满分14分）如图所示，正方形
与矩形
所在平面互相垂直，
,点
为
的中点.

（Ⅰ）求证：
； （Ⅱ）求证：
；

（III）在线段
上是否存在点
，使二面角
的大小为
？若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由.

21．（本题满分15分）已知数列{
}、{
}满足：
．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）设
，求证数列
是等差数列，并求
的通项公式；

（Ⅲ）设
，不等式
恒成立时，求实数
的取值范围

22．（本题满分15分）已知函数
，
，
．

(Ⅰ) 设对任意
，
恒成立，求
的取值范围；

(Ⅱ) 是否存在实数
，使得满足
的实数
有且仅有一个？

若存在，求出所有这样的
；若不存在，请说明理由．

高三理科数学参考答案

选择题:本大题有10小题，每小题5分，共50分．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分．

11．1 12．15 　13．
　 14．
15．
16．
17.2

三、解答题：本大题共5小题，共72分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

19．解⑴由题意得
，又
，
，得
，即
，在
中，
，

∴
，∴
，又
，∴
。

⑵

∵
，∴
，∴
≤
，

∴
的取值范围是
．

20．解：（Ⅰ）
,

点E为
的中点,连接

的中位线
//

又

（II）正方形
中,
, 由已知可得：
，

,

21．

由条件可知
恒成立即可满足条件，设

当
时，
恒成立

当
时，由二次函数的性质知不可能成立

当
时，对称轴
，

在
为单调递减函数．sj.fjjy.org

，

∴
∴
时
恒成立

22．(Ⅰ)法一： 由
得
，即
；

又当
时，
，因为
，则
，于是sj.fjjy.org

，gkstk

即
恒成立，故
的取值范围是
．

法二：当
时，
，此时
；

当
时，
等价于
。

令
，
，

由
，

因为
，
，

所以
，
，

于是
在
，从而
，所以
．

综上，
的取值范围是
．