东阳中学2014届高三上学期期中考试数学（文）试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有

一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，则
（ ）

A．
　 B．
　 Ｃ．
　 Ｄ．

2．已知复数
（其中
，
是虚数单位），则
的值为 （ ）

A．
　 B．
　 C．0 　　 D．2

3．已知空间两条不同的直线
和两个不同的平面
，则下列命题中正确的是（ ）

A.若
B.若

C.若
D.若
则

4．将函数
的图象上各点的横坐标伸长到原来2的倍，再向左平移
个单位，

所得图象的函数解析式是 （ ）

A.
B.
C.
D.

5．设函数
，若
则
（ ）

A.
　　B.
　　　　　 C.
　　　　 D.

6．已知等差数列
的前
项和为
，若
且A,B,C三点共线（该直线不过点O），则
等于 ( )

A.
　　　　　B.
　　 C.
　　 D.

7．已知等比数列
中，各项都是正数，且
成等差数列，则
等于（ ）

A．
B.
　　 C.
　　 D.

8．已知两点
为坐标原点，点
在第二象限，且
，设
等于 　（ ）

A．
B．2 C．
　　　　　 D．1

9．已知
．现有下列不等式：①
；②
；③
；

④
．其中正确的是 （ ）

　Ａ．①② 　 Ｂ．①③ Ｃ．②④ Ｄ．③④

10．曲线y=x3上一点B处的切线l交x轴于点A, △OAB (O是原点)是以A为顶点的等腰三角形,则切线l的倾斜角为 （ ）

A．30° B．45° C．60° D．120°

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．若
，则
的最小值是 .

12．设向量
满足
，
，则

.

13．三视图如右的几何体的体积为

14．已知数列
是正项等比数列，若
，
，则数列
的前n项和
的最大值为 ．

15．设偶函数
（

的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形（其中K，L为图象与
轴的交点，M为极小值点），∠KML=90°，KL＝
，则
的值为_______ sj.fjjy.org

16．在面积为2的正
中，E,F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则
的最小值是___________。

17．若一个函数是“好函数”当且仅当其满足：（1）定义在R上；（2）存在
，使其在
上单调递增，在
上单调递减，则以下函数是好函数的有 　　　

（填写函数编号）①
；②
；③
；④

三、解答题：本大题共5小题，共72分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

18．（本小题满分14分）已知向量
，函数
，
（Ⅰ）求
的最小值；（Ⅱ）若
，求
的值。

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19．（本小题满分14分）等差数列
中，
，公差
，且它的第2项，第5项，第14项分别是等比数列
的第2项，第3项，第4项。

（Ⅰ）求数列
与
的通项公式；

（Ⅱ）设数列
对任意自然数均有
成立，

求
的值。

20. （本题满分14分）在
中，
的对边分别为
且
成等差数列。（1）求
的值；

(2)求
的取值范围。

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21．（本小题满分15分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1，侧棱与底面垂直，AB=AC=1，AA1=2， P、Q、M分别是棱BB1、CC1、B1C1的中点，AB⊥AQ．

（1）求证：AC⊥A1P；

（2）求证：AQ∥面A1PM；

（3）求AQ与面BCC1B1所成角的大小．

22. （本小题满分15分）已知函数
（
为常数）sj.fjjy.org

（1）若
在区间
上单调递减，求
的取值范围；

（2）若
与直线
相切．

（ⅰ）求
的值；

（ⅱ）设
在
处取得极值，记点M (
,
)，N(
,
)，P(
),
, 若对任意的m
(
, x
)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定
的最小值，并证明你的结论.

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高三文科数学参考答案

选择题:本大题有10小题，每小题5分，共50分．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分．

11．
12．
　13．1　 14．15 15.
16．
17. ②③

三、解答题：本大题共5小题，共72分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

21．解: (1) 由已知AA1⊥AB，又AB⊥A1Q，∵AB⊥面AA1C1C，∴AB⊥AC，又∵AC⊥AA1，∴AC⊥面AA1B1B，∴AC⊥A1P

(2)延长PM交CC1于J． ∵P,M是棱B, B1C1中点, ∴△B1PM ≌△C1MJ ,∴C1J=1．

在面AA1C1C中由AA1∥QJ, ∵CQ=1, ∴AA1= QJ．

∴四边形A1AQJ是平行四边形．∴AQ∥A1J． ∴AQ∥面A1PM．

(3) M是等腰三角形A1B1C1 中点，A1M⊥B1C1，

又由已知A1M⊥CC1,∴A1M⊥面BCB1C1，又A1J∥AQ，

∴∠AJM就是AQ与面BCC1B1所成角．

A1M=, A1J=,∴sin∠A1JM=,∴∠A1JM=30°．

即AQ与面BCC1B1所成角为30°．

（ⅰ）由以上两式联立消去
并整理可得：
，因式分解为：

，该方程只有唯一解
，即

（ⅱ）令
，得

由（ⅰ）得的
单调增区间为
和
，单调减区间为
，所以函数在处取得极值。故M(
).N(
)

直线MP的方程为

由
得

线段MP与曲线
有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数

上有零点.

因为函数
为三次函数,所以
至多有三个零点,两个极值点.

又
.因此,
在
上有零点等价于
在
内恰有一个极大值点和一个极小值点,即

内有两不相等的实数根

等价于
即

又因为
,所以m 的取值范围为(2,3)

从而满足题设条件的
的最小值为2.