2014届高三第一次诊断考试

数学I

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1．设集合
，则集合
共有 ▲ 个子集．

2．已知角
的终边过点
，则
的值是 ▲ ．

3．已知
，则
的值等于 ▲ ．

4．已知集合
，
，则
＝ ▲ .

5．已知函数
是定义在
上的偶函数，在
上单调递减，且
，

，则函数
的零点个数为 ▲ 个.

6．给出如下命题：

①若“
且
”为假命题，则
均为假命题；

②命题“若
，则
”的否命题为“若
”；

③命题“
”的否定是“
”；

④ “
” 是 “
恒成立”的充要条件.

其中所有正确的命题的序号是 ▲ .

7．已知
，则
的值等于 ▲ .

8．已知
，
，则“
”是“
在R上恒成立”的 ▲ 条件.

（填“充分不必要、必要而不充分、充要、既不充分也不必要”之一）

9．已知函数
，
，若
图像上任意一点的切线的斜率
恒成立，

则实数
的取值范围是 ▲ .

10．设函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围为 ▲ .

11．已知函数
，若
，则
的取值范围为 ▲ .

12．已知函数
若
，则
的最大值为 ▲ .

13．已知
，
，
，则
▲ .

14．已知
,函数

，则
的值为 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（本小题满分14分）

已知
，且

．

（1）求证：
；

（2）若
，求
的值．

16．（本小题满分14分）

设
，函数
的最大值为g(a)．

　 （1）设

，求
的取值范围，并把
表示为
的函数
；

（2）求g(a)．

17．（本小题满分14分）

设函数
和
是定义在集合
上的函数，若
，则称函数

和
在集合
上具有性质
.

（1）若函数
和
在集合
上具有性质
，求集合
；

（2）若函数
和
在集合
上具有性质
，求
的取值范围．

18．（本小题满分16分）

某地发生某种自然灾害，使当地的自来水受到了污染．某部门对水质检测后，决定往水中

投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为
个单位的药剂后，经过
天该药剂在水中

释放的浓度
（毫克/升）满足
，其中
，当药剂在

水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6

（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳净化.

（1）如果投放的药剂质量为
，试问自来水达到有效净化一共可持续几天?

（2）如果投放的药剂质量为
，为了使在7天（从投放药剂算起包括第7天）之内的自来

水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量
的取值范围.

19．（本小题满分16分）

设
，函数
．

（1）若函数
为奇函数，求
的值；

（2）若函数
在
处取得极小值，求
的值；

（3）若
，试求
时，函数
的最大值．

20．（本小题满分16分）

已知函数
，其中
是自然对数的底数．

（1）若
，求函数
的单调区间；

（2）求证：
；

（3）对于定义域为D的函数
，如果存在区间
，使得
时，

的值域是
，则称
是该函数
的“保值区间”．

设
，问函数
是否存在“保值区间”？若存在，请

求出一个“保值区间”； 若不存在，请说明理由．

2014届高三第一次诊断考试

数学II（附加题）

请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21．（本小题满分10分）

已知函数
．

（1）求函数
的定义域；

（2）记函数
，求函数
的值域．

22．（本小题满分10分）

设
为锐角，若
，求
的值．

23．（本小题满分10分）

已知函数
，
．

（1）求函数g(x)的解析式，并写出当a＝1时，不等式g(x)＜8的解集；

（2）若f(x)，g(x)同时满足下列两个条件：①
，使
；

②
．求实数a的取值范围．

24．（本小题满分10分）

已知函数
，
，其中
．

（1）求
的极值；

（2）若存在区间
，使
和
在区间
上具有相同的单调性，求
的取值范围．

海门市2014届高三第一次调研考试

数学I参考答案与评分标准

1. 8；2.
；3.
；4.
；5. 2；6. ②③；7.
；8. 充分不必要；9.
；

10.
；11.
；12.
；13. 4；14.
．

15. （1）证明：

，

，

，

① ………4分

，

若
，则由①
与
矛盾，

， ………5分

①两边同除以
得：
； ………7分

（2）解：由（1）得
，
， ………10分

，
，

，
，从而
． ………14分

16. 解：（1）

，

，
，即
的取值范围为
， ………3分

（另解：
，
，由
得
，
）

，
， ………5分

，
； ………7分

（2）由二次函数的图象与性质得：

①当
，即
时，
； ………10分

②当
，即
时，
………13分

………14分

17. 解：（1）
，
，

由
得：
， ………2分

变形得：
，

或
（啥去）， ………5分

，

； ………7分

（2）
，
，

由
得：
， ………9分

变形得：
，

，且
，

，
，即
的取值范围为
． ………14分

（其它解法参照上述评分标准给分）

18. 解：（1）由题设：投放的药剂质量为
，

自来水达到有效净化
………2分

或
………4分

或
，即：
，

亦即：如果投放的药剂质量为
，

自来水达到有效净化一共可持续6天； ………8分

（2）由题设：
，
， ………10分

，

，且
，………12分

且
， ………14分

，
，

亦即：投放的药剂质量
的取值范围为
. ………16分

19. 解：（1）
， ………1分

，

为奇函数，

，即

； ………4分

（2）

………5分





















在
处取得极小值，在
处取