山西省忻州一中2013－2014学年高三上学期期中考文科数学试题

注意事项:

1．答题前，考生务必用0.5mm黑色中性笔，将姓名、班级、考号填写在试题和答题卡上。

2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。

3．满分150分，考试时间120分钟。

一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知函数
的定义域为M，函数g(x)=
的定义域为N，则

A．
B．
C．
D．

2．若命题“
使得
”为假命题，则实数m的取值范围是A．
B．
C．
D．

3．已知
＜4，则曲线
和
有

A． 相同的准线 B．相同的焦点

C．相同的离心率 D．相同的长轴

4．设
是平面
内两条不同的直线，是平面
外的一条直线，则
是
的

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知数列
为等比数列，且
，设等差数列
的前n项和为
，若
，则
=

A．36 B．32 C．24 D．22

6．函数
的最小正周期为 　

A．
　　 　 B．
　　　 C．
　　　 D．
　

7．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的

等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为

A．
B．

C．
D．

8．函数
在
上为减函数，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

9．已知
是函数f(x)=lnx-()x的零点，若
的值满足

A．
B．
C．
D．
的符号不确定

10．已知函数f（x）=x﹣4+
，x∈（0，4），当x=a时，f（x）取得最小值b，则在直角坐标系中函数g（x）=
的图象为

A．



B．



C．



D．





11．在
中，角
所对边长分别为
，若
，则
的最小值为

A．
B．
C．
D．

12．已知偶函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，且满足
，则不等式
的解集是

A．
B．

C．
D．

二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上)

13．已知向量
的模为1，且
满足
，则
在
方向上的投影等于 .

14．函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是_________.

15．在等差数列
中，
，其前
项和为
，若
，则
的值等于

16．函数
的图象和函数g（x）=ln（x﹣1）的图象的交点个数是______________．

三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卡的相应位置上)

17．（本小题满分10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．

（1）求角C的大小；

（2）求
的最大值．

18．（本小题满分12分）已知等差数列
的首项
，公差
．且
分别是等比数列
的
．

（1）求数列
与
的通项公式；

（2）设数列
对任意自然数
均有
…
成立，求
…
的值.

19.（本小题满分12分）如图在四棱锥
中,底面
是边长为
的正方形,侧面

底面
，且
,设
、
分别为
、
的中点．

(1) 求证：
//平面
；

(2) 求证：面

平面
．

20.（本小题满分12分）

已知抛物线
的焦点坐标为
，过
的直线交抛物线
于
两点，直线
分别与直线
：
相交于
两点．

(1)求抛物线
的方程；

(2)证明△ABO与△MNO的面积之比为定值．

21．（本小题满分12分）

某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为5元/本，经销过程中每本书需付给代理商m元（1≤m≤3）的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市场后定价为
元/本

（9≤
≤11），预计一年的销售量为
万本．

(1)求该出版社一年的利润
（万元）与每本书的定价
的函数关系式；

(2)当每本书的定价为多少元时，该出版社一年的利润
最大,并求出
的最大值
．

22．已知a∈R,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax

(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；

(2)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值．

学参考答案（文科）

一、选择题：(每小题5分,共60分)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



D

A

B

C

A

C

C

B

C

B

C

D





二、填空题：(每小题5分,共20分)

13． -3 14．
15．-2013 16．2

三、解答题：(共70分)

17．(10分)

解：（1）sinA＋cosA＝2sinB即2sin(A＋)＝2sinB，则sin(A＋)＝sinB．…3分

因为0＜A，B＜(，又a≥b进而A≥B，

所以A＋＝(－B，故A＋B＝，C＝． …6分

（2）由正弦定理及（1）得

＝＝[sinA＋sin(A＋)]＝sinA＋cosA＝2sin(A＋)．…9分

当A＝时，取最大值2． …10分

18．(12分)

（1）∵a2=1+d ，a5=1+4d ，a14=1+13d，且a2、a5、a14成等比数列

∴
…3分

∴
…4分

又∵
.　

　∴
…6分

（2）∵
…
①

∴
　即
，又
…
②

①－②：
　

∴
…10分

∴
…11分

则
…
…

…12分

19．(12分)

(1)证明：
为平行四边形

连结
，
为
中点，

为
中点∴在
中
//
　

且

平面
，
平面

∴
…6分

(2)因为面

面
　平面

面

　

为正方形，
，
平面

　所以
平面
　∴

又
，所以
是等腰直角三角形，

且
　　　即

　
，且
、

面
　　

面

又
面
　　面
面
…12分

20．(12分)

解：（1）由焦点坐标为
可知

所以
,所以抛物线
的方程为
…4分

（2）当直线垂直于
轴时，
与
相似，

所以
, …6分

当直线与
轴不垂直时，设直线AB方程为
,

设
，
，
，
，

解
整理得
， …8分

所以
, …9分

,

综上
…12分

21.解：（1）该出版社一年的利润
（万元）与每本书定价
的函数关系式为：

．……………4分（定义域不写扣1分）

（2）

．…………………5分

令
得
或x=20（不合题意，舍去）．…………6分

，
．在
两侧
的值由正变负．

当
即
时，

L(x)在[9, 10+m]上是增函数，在[10+m，11]上是减函数。

Lmax=L(10+m)=( 10+m-5-m)[(20-(10+m)]2=4(5-)3……9分

②当
即
时，L(x)在[9,11]上是增函数，

，………………11分

所以

答：若
，则当每本书定价为
元时，出版社一年的利润
最大，最大值
（万元）；若
，则当每本书定价为11元时，出版社一年的利润
最大，最大值
（万元）…………………………12分

22．（12分）

解　(1)当a＝1时，f′(x)＝6x2－12x＋6，所以f′(2)＝6.

又因为f(2)＝4，所以切线方程为y＝6x－8. ……………4分

(2)记g(a)为f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．

f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)．

令f′(x)＝0，得到x1＝1，x2＝a.

当a>1时，

比较f(0)＝0和f(a)＝a2(3－a)的大小可得

g(a)＝……………8分

当a<－1时

得g(a)＝3a－1.

综上所述，f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值为

g(a)＝……………12分