2013年11月

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页。满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷以及答题卡和答题纸一并交回。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在试卷、答题卡和答题纸规定的地方。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

注意事项：第Ⅰ卷为选择题，共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求。每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其他答案标号。不能直接写在本试卷上。

1、已知集合
,
,则“
”是“
”的（　 　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 [来源:学科网]

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2、函数
，且
在
时取得极值，则
=（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

3、设复数
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

4、若非零向量
满足
、
，则
的夹角为（ ）

A. 30o B. 60o C. 120o D. 150o

5、函数
在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ）

A.5 , －15 B.5 , 4 C. －4 , －15 D.5 , －16

6、已知
m，n是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）

A．若
B．若

C．若
D．若
则

7、函数
的图象如图所示.为了得到
的图象，则只要将
的图象（
）

A.向右平移
个单位长度 B.向右平移
个单位长度

C.向左平移
个单位长度 D. 向左平移
个单位长度

8、如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，

M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是（ ）

　 A.D1O∥平面A1BC1 B. D1O⊥平面MAC

C.异面直线BC1与AC所成的
角为60°　D.二面角M－AC－B为90°

9、在
中 ,若
，
,则
（ ）

A．
B．
C．
D．

10、已知
的最大值是
，且
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

11、在
中，
，且
，则
=( )

A．
B．
C．3 D．-3

12、设
是定义在R上的奇函数，且
,当
时，有
恒成立，则不等式
的解集是（ ）

A. (-2,0) ∪(2,+∞) B. (-2,0) ∪(0,2) C. (-∞,-2)∪(2,+∞) D. (-∞,-2)∪(0,2)

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题， 每小题4分，共16分）

13、设复数
为实数时，则实数
的值是

14、已知函数
，则在x=0处的切线方程

15、已知三棱柱
的侧棱垂直底面，所有顶点都在球面上，
AC=1,
,则球的表面积为

16、关于函数
，下列命题：

①、若存在
，
有
时，
成立；②、
在区间
上是单调递增；③、函数
的图像关于点
成中心对称图像；④、将函数
的图像向左平移
个单位后
将与
的图像重合．其中正确的命题序号

三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17、（本小题满分12分）

求同时满足下列条件的所有的复数z,

(A) z +
∈ R, 且1

(B)z的实部和虚部都是整数。

18、（本小题满分12
分）

已知
=
，
=
，若

（1）求
的单调递增区间；

（2）当
时，求函数
的最值，并求出取得最值时的
的取值。

19、（本小题满分12分）

在△ABC中，
且a+b=5，c=
，[来源:学。科。网Z。X。X。K]

（1）求角C的大小； （2）求△ABC的面积.

20、（本小题满分12分）

四棱锥P－ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，∠BDA＝6
0°

（1）证明：∠PBC＝90°；

（2）若PB＝3，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值

21、（本小题满分12分）

如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝AB＝2，BC＝3，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．

（1）求证：DE∥平面PBC；

（2）求证：AB⊥PE；

（3）求二面角A－PB－E的大小.

22、（本小题满分14分）

设函数
，其中
为
常数．

（1）当
时，判断函
数
在定义域上的单调性；

（2）若函数
的有极值点，求
的取值范围及
的极值点

高三期中考试理科数学卷

参考答案

一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

D

B

C

A

D

C

D

C

D

B

D



二.填空题（本大题每小题4分，共16分）

13、3 14、y=2x 15、8
16、①、③

二.解答题

17、解

设z=x+yi, (x, y∈R), 则z+
=x(1+
)+y(1－
)i .

∵z+
∈R, ∴y(1－
)=0.

∴y=0, 或x2+y2=10.

又1

当y=0时, 可以化为10时, x+
≥2
>6. 故y=0时,无解.

当x2+y2=10时, 可化为1<2x≤6, 即

∵x, y∈Z, 故可得z=1+3i ,或 1－3i ,或 3+
i ,或 3－i [来源:学§科§网Z§X§X§K]

18、解（I）

（Ⅱ）由
得
，

20、解

(1)取AD中点O，连OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，又OP∩OB＝O，∴AD⊥平面POB，

∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，∵PB?平面POB，

∴BC⊥PB，即∠PBC＝90°. …………………………5分

(2)如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O－xyz，则A(1,0,0)，B(
0，，0)，C(－2，，0)，由PO＝BO＝，PB＝3，
得∠POB＝120°，∴∠POZ＝30°，∴P(0，－， )，则＝(－1，，0)，＝(－2,0,0)，
＝
(0，，－)，设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，

则，取z＝，则n＝(0,1，)，

设直线 AB与平
面PBC所成的角为θ，则

sinθ＝|cos〈，n〉|＝. …………………………12分

21、解

（1）D、E分别为AB、AC中点，(DE∥BC ．

DE(平面PBC，BC(平面PBC，∴DE∥平面PBC

（2）连结PD， PA=PB，
PD ⊥ AB． DE∥BC，BC ⊥ AB，
DE ⊥ AB．又PD
DE=D

AB⊥平面PDE，PE(平面PDE，
AB⊥PE ．

22、解

当
时，
，函数
在定义域
上单调递增．

（2）①由（Ⅰ）得，当
时，函数
无极值点．

②
时，
有两个相同的解
，

时，

时，函数
在
上无极值点．

③当
时，
有两个不同解，

时，
，
,

此时
，
随
在定义域上的变化情况如下表：





















减

极小值

增



由此表可知：
时，
有惟一极小值点
，

ii) 当
时，0<
<1此时，
，
随
的变化情况如下表：










[来源:Zxxk.Com]



















增[来源:Zxxk.Com]

极大值

减

极小值

增



由此表可知：
时，
有一个极大值
和一个极小值点
；

综上所述：当且仅当
时
有极值点;

当
时，
有惟一极小值点
；

当
时，
有一个极大值点
和一个极小值点