山西省忻州一中2013－2014学年高三上学期期中考理科数学试题

注意事项:

1．答题前，考生务必用0.5mm黑色中性笔，将姓名、班级、考号填写在试题和答题卡上。

2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。

3．满分150分，考试时间120分钟。

一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设集合
，
，则
等于

A．
B．
C．
D．

2．若命题“
使得
”为假命题，则实数m的取值范围是

A．
B．
C．
D．

3．已知
＜4，则曲线
和
有

A．相同的准线 B．相同的焦点 C．相同的离心率 D．相同的长轴

4．设
是平面
内两条不同的直线，是平面
外的一条直线，则
是
的

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知数列
为等比数列，且
，设等差数列
的前n项和为
，若
，则
=

A．36 B．32 C．24 D．22

6．函数
的最小正周期为 　

A．
　　 　 B．
　　　 C．
　　　 D．
　

7．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的

等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为

A．
B．

C．
D．

8．函数
在
上为减函数，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

9．已知函数f（x）=x﹣4+
，x∈（0，4），当x=a时，f（x）取得最小值b，则在直角坐标系中函数g（x）=
的图象为

A．



B．



C．



D．





10．在
中，角
所对边长分别为
，若
，则
的最小值为

A．
B．
C．
D．
11．已知偶函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，且满足
，则不等式
的解集是

A．
B．

C．
D．

12．已知二次函数
的导数
，且
的值域为
，则
的最小值为

A．3 B．
C．2 D．

二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上)

13．已知向量
的模为1，且
满足
，则
在
方向上的投影等于 .

14．函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是_________.

15．在等差数列
中，
，其前
项和为
，若
，则
的值等于 .

16．设函数
，函数
的零点个数为_________.

三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卡的相应位置上)

17．（本小题满分10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．

(1)求角C的大小；

(2)求
的最大值．

18．（本小题满分12分）已知等差数列
的首项
,公差
.且
分别是等比数列
的
． (1)求数列
与
的通项公式；

(2)设数列
对任意自然数
均有
…
成立，求
…

的值.

19.（本小题满分12分）如图在四棱锥
中,底面
是边长为
的正方形,侧面

底面
，且
．

(1)求证：面

平面
；

(2)求二面角
的余弦值．

20.（本小题满分12分）如图已知抛物线
的焦点坐标为
，过
的直线交抛物线
于
两点，直线
分别与直线
：
相交于
两点．

(1)求抛物线
的方程；

(2)证明△ABO与△MNO的面积之比为定值．

21．（本小题满分12分）某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为5元/本，经销过程中每本书需付给代理商m元（1≤m≤3）的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市场后定价为
元/本（9≤
≤11），预计一年的销售量为
万本．

(1)求该出版社一年的利润
（万元）与每本书的定价
的函数关系式；

(2)当每本书的定价为多少元时，该出版社一年的利润
最大，并求出
的最大值

22.（本小题满分12分）设函数
，
．

(1)讨论函数
的单调性；

(2)若存在
,使得
成立,求满足上述条件的最大整数
；(3)如果对任意的
，都有
成立，求实数
的取值范围．

参考答案（理科）

一、选择题：(每小题5分,共60分)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



C

A

B

C

A

C

C

B

B

C

D

C





二、填空题：(每小题5分,共20分)

13． -3 14．
15．-2013 16．2

三、解答题：(共70分)

17．(10分)

解：（1）sinA＋cosA＝2sinB即2sin(A＋)＝2sinB，则sin(A＋)＝sinB．…3分

因为0＜A，B＜(，又a≥b进而A≥B，

所以A＋＝(－B，故A＋B＝，C＝． …6分

（2）由正弦定理及（1）得

＝＝[sinA＋sin(A＋)]＝sinA＋cosA＝2sin(A＋)．…9分

当A＝时，取最大值2． …10分

18．(12分)

解：（1）∵a2=1+d ，a5=1+4d ，a14=1+13d，且a2、a5、a14成等比数列

∴
…3分

∴
…4分

又∵
.　

　∴
…6分

（2）∵
…
①

∴
　即
，又
…
②

①－②：
　

∴
…10分

∴
…11分

则
…
…

…12分

19．(12分)

(1)解法一：因为面

面
　平面

面

　

为正方形，
，
平面

　所以
平面
　∴
…………………………2分

又
，所以
是等腰直角三角形，

且
　　　即

　
，且
、

面
　　

面

又
面
　　面
面
…………………………6分

解法二：

如图,取
的中点
, 连结
,
.

∵
, ∴
.

∵侧面

底面
,

,

∴
,

而
分别为
的中点,∴
,

又
是正方形,故
.

∵
,∴
,
.

以
为原点,向量,,为
轴建立空间直线坐标系,

则有
,
,
,
,
,
.

∵
为
的中点, ∴
…………………………2分

(1)∵
,=(0,-a,0) ∴((=(,0,- )((0,-a,0)=0,

∴
,从而
,又
,
,

∴
,而
,

∴平面

平面
． …………………………6分

(2)由(1)知平面
的法向量为
.

设平面
的法向量为
.∵=(,0, )(,=(-a,-a,0)

∴由
可得

取
,则y=-1,z=-1,故=(1,-1,-1) …………………………10分

∴
,

即二面角
的余弦值为
,……………………12分

20．(12分)解：（1）由焦点坐标为
可知

所以
,所以抛物线
的方程为
…5分

（2）当直线垂直于
轴时，
与
相似，

所以
, …7分

当直线与
轴不垂直时，设直线AB方程为
,

设
，
，
，
，

解
整理得
， …9分

所以
, …10分

,

综上
…12分

21.解：（1）该出版社一年的利润
（万元）与每本书定价
的函数关系式为：

．……………5分（定义域不写扣1分）

（2）

．…………………6分

令
得
或x=20（不合题意，舍去）．…………7分

，
．在
两侧
的值由正变负．

当
即
时，

L(x)在[9, 10+m]上是增函数，在[10+m，11]上是减函数。

Lmax=L(10+m)=( 10+m-5-m)[(20-(10+m)]2=4(5-)3……9分

②当
即
时，L(x)在[9,11]上是增函数，

，………………11分

所以

答：若
，则当每本书定价为
元时，出版社一年的利润
最大，最大值
（万元）；若
，则当每本书定价为11元时，出版社一年的利润
最大，最大值
（万元）…………………………12分

22．（12分）（1）
，x (0,+∞)
，

①当a≤0时，∵x>0,h((x)>0，函数
在
上单调递增，

②当a<0时，由h((x)>0得x>，函