风采华侨中学2013～2014学年度第一学期摸底考试

高三数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知函数f（x）＝
的定义域为A，函数g（x）＝ln（1＋x）的定义域为B，

则A∩B＝

A．{x｜x＞－1} B．{x｜x＜1} C．{x｜－1＜x＜1} D．

2．函数f（x）＝－sin（2x＋
π）在其定义域上是

A．周期为π的奇函数 B．周期为2π的奇函数

C．周期为π的偶函数 D．周期为2π的偶函数

3．已知向量
＝（3，4），
＝（2，－1），如果向量
与
垂直，则x的值为

A．
B．
C．2 D．－

4．由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的平面图形的面积为

A．
B．2－ln3 C．4＋ln3 D．4－ln3

5．若点P（1，1）为圆
的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为

A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0 C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0

6．设m, n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：

①若α∥β，m
α，n
β，则m∥n； ②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；

③若n⊥α，n⊥β, m⊥α，则m⊥β； ④若α⊥γ，β⊥γ， m⊥α，则m⊥β．

其中错误命题的序号是

A．①③ 　 B．①④ C．②③④ 　 D．②③

7．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为

A．
B．

C．
D．

8．．已知中心在原点的双曲线
的右焦点为
,离心率等于
,在双曲线
的方程是 ( )

A .
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分

（一）必做题（9～13题）

9．不等式
的解集为_______　　　　　　　____．

10．（x＋1）
展开式中，
的系数为____________（用数字作答）．

11．已知x、y满足约束条件
，则z＝x＋y的最大值是__________.

12. 若曲线
在点
处的切线平行于
轴,则
___ ___.

13. 在等差数列
中,已知
,则

____　　　　　_.

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中
中，曲线
和曲线
的

参数方程分别为
（
为参数）和
（
为参数），则曲线
和曲线
的交点坐标为 　　　　　 ．

15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆
的半径为1，

A，B，C是圆上三点，且满足
，

过点A做圆
的切线与OC的延长线交与点P，则PA= ．

三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

某车间共有
名工人,随机抽取
名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.

(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；

(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.

根据茎叶图推断该车间
名工人中有几名优秀工人；

(Ⅲ) 从该车间
名工人中,任取
人,求恰有
名优秀

工人的概率.

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，向量m＝（2sinB，2－cos2B），n＝（2
，－1），且m⊥n．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若a＝
，b＝1，求c的值．

18.(本小题满分13分)

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60
，
,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点.

(1) 证明：AD ⊥平面DEF;

(2) 求二面角P-AD-B的余弦值.

19．（本小题满分14分）

设数列
的前
项和为
.已知
,
,
.

(Ⅰ) 求
的值；

(Ⅱ) 求数列
的通项公式；

(Ⅲ) 证明:对一切正整数
,有
.

20．（本小题满分14分）

已知抛物线
的顶点为原点,其焦点
到直线
:
的距离为
.设
为直线
上的点,过点
作抛物线
的两条切线
,其中
为切点.

(Ⅰ) 求抛物线
的方程；

(Ⅱ) 当点
为直线
上的定点时,求直线
的方程；

(Ⅲ) 当点
在直线
上移动时,求
的最小值.

21．（本小题满分14分）

设函数
(其中
).

(Ⅰ) 当
时,求函数
的单调区间；

(Ⅱ) 当
时,求函数
在
上的最大值
.