仲元中学 中山一中 南海中学

2013—2014学年　　　　　　　　　　　 高三第一次联考

潮阳一中 宝安中学 普宁二中

文 科 数 学

本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．

参考公式：球的体积公式是
,其中
是球的半径．

棱锥的体积公式：
．其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高．

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知全集
，集合
，
，那么

A．
B．
C．
D．

2．函数
是

A．最小正周期为
的偶函数 B．最小正周期为
的奇函数

C．最小正周期为
的偶函数 D．最小正周期为
的奇函数

3．已知命题
：
，
，那么
是

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

4．已知
是虚数单位，则复数
的虚部为

A．
B．
C．
D．

5．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是

A．
　 B．
C．
D．

6．设变量
满足约束条件：
，则
的

最小值为

A．
B．
C．
D．

7．已知数列
的前
项和
，则
=

A．36 B．35 C．34 D．33

8．在
中，角
所对的边分别为
，若
，
，则

A．
B．

C．
D．

9．若右边的程序框图输出的
是126，则条件①可为

A．
B．
C．
D．

10．椭圆
＝1的左右焦点分别为
、
，点
是椭圆上任意一点，

则
的取值范围是

A．
　 　B．
C．
　 　D．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第一小题计分．）

11．设平面向量
，则
．

12．若直线
与幂函数
的图象相切于点

，则直线
的方程为 ．

13．已知函数
，则
．

★（请考生在以下二个小题中任选一题作答，全答的以第一小题计分）

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，设曲线
与
的交点分别为
，则线段
的垂直平分线的极坐标方程为 ．

15．（几何证明选讲选做题）如右图，从圆
外一点
引圆

的切线
和割线
，已知
，
，

圆
的半径为
，则圆心
到直线
的距离为 ．

三、解答题（本部分共计6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在指定区域内作答，否则该题计为零分．）

16．（本小题满分12分）

已知平面直角坐标系上的三点
，
，
（
），
为坐标原点，向量
与向量
共线．

（1）求
的值；

（2）求
的值．

17．（本小题满分12分）

某小组共有
五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指标（单位:千克/米2）如下表所示：

A

B

C

D

E



身高

1．69

1．73

1．75

1．79

1．82



体重指标

19．2

25．1

18．5

23．3

20．9



（1）从该小组身高低于1．80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1．78以下的概率；

（2）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1．70以上且体重指标都在[18．5，23．9)中的概率．

18．（本小题满分14分）

如右图,在底面为平行四边形的四棱柱
中,

底面
,
,
,
．

（1）求证:平面
平面
；

（2）若
,求四棱锥
的体积．

19．（本小题满分14分）

设
是各项都为正数的等比数列,
是等差数列，且
，
，
．

（1）求数列
,
的通项公式；

（2）设数列
的前
项和为
，求数列
的前
项和
．

20． (本小题满分14分)

已知抛物线
与双曲线
有公共焦点
，点
是曲线
在第一象限的交点，且
．

（1）求双曲线
的方程；

（2）以双曲线
的另一焦点
为圆心的圆
与直线
相切，圆
：
．过点
作互相垂直且分别与圆
、圆
相交的直线
和
，设
被圆
截得的弦长为
，
被圆
截得的弦长为
，问：
是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

21．（本小题满分14分）

已知
为函数
图象上一点，O为坐标原点，记直线
的斜率
．

（1）若函数
在区间

上存在极值，求实数m的取值范围；

（2）当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）求证：
．

2014届高三第一次联考文科数学参考答案

一．选择题（10小题，每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

A

A

D

B

C

C

B

B

D





二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分）

11．
12．
13．

14．
（与其等价的极坐标方程皆可） 15．

三．解答题（本部分共计6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（本题满分12分）

解：（1）法1：由题意得：
，
， …………………2分

∵
，∴
，∴
． …………………5分

法2：由题意得：
，
， …………………2分

∵
，∴
，∴
，∴
．…………………5分

（2）∵
，
，∴
，…………………6分

由
，解得
，
， …………………8分

∴
；…………………9分

；…………………10分

∴
． …………………12分

17．（本小题满分12分）

解：（1）从身高低于1．80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：

(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．

由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．…………………………4分

选到的2人身高都在1．78以下的事件有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个．

因此选到的2人身高都在1．78以下的概率为
．…………………………6分

（2）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，

(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．

由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．…………………………10分

选到的2人身高都在1．70以上且体重指标都在[18．5，23．9)中的事件有：

(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．

因此选到的2人的身高都在1．70以上且体重指标都在[18．5，23．9)中的概率为
．………12分

18．(本题满分14分)

解：（1）证明： 在
中,由余弦定理得：
，

所以
,所以
,即
，……………………………………3分

又四边形
为平行四边形,所以
，

又

底面
,
底面
,所以
，……………………………………4分

又
,所以
平面
, ……………………………………5分

又
平面
,所以平面
平面
．……………………………………6分

（2）法一：连结
，∵
，∴

∵
平面
，所以
，……………………………8分

所以四边形
的面积
，…………10分

取
的中点
，连结
，则
，且
，

又平面
平面
,平面
平面

，

所以
平面
，……………………………………13分

所以四棱锥
的体积：

． ……………………………………14分

法二: 四棱锥
的体积
，……………8分

而三棱锥
与三棱锥
底面积和高均相等，……………10分

所以

． ……………………14分

19．（本小题满分14分）

解：（1）设数列
的公比为
数列
的公差为
，

依题意得：
， ………………………………………………2分

消去
得

，………………………………………………3分

∵
∴
，由
可解得
………………………………………………4分

∴
………………………………………………5分

（2）由（1）得
，所以有：

………………………………………………7分

令
① 则
②

①-②得：
…………………………………………10分

∴
………………………………………………12分

又
，………………………………………………13分

∴
． ………………………………………………14分

20．（本小题满分14分）

解: （1）∵抛物线
的焦点为
，

∴双曲线
的焦点为
、
，………………………………………………1分

设
在抛物线
上，且
，

由抛物线的定义得，
，∴
，∴
，∴
，…………………………3分

∴
，………………………………………………4分

又∵点
在双曲线
上，由双曲线定义得：

，∴
， ∴双曲线
的方程为：
．………………………………6分

（2）
为定值．下面给出说明．

设圆
的方程为：
， ∵圆
与直线
相切，

∴圆
的半径为
，故圆
：
． ………………………………7分

显然当直线
的斜率不存在时不符合题意，………………………………………………8分

设
的方程为
，即
，

设
的方程为
，即
，

∴点
到直线
的距离为
，

点
到直线
的距离为
，………………………………………………10分

∴直线
被圆
截得的弦长
，……………………………11分

直线
被圆
截得的弦长
，……………………………12分

∴
， 故
为定值
． ………………………………14分

21．(本题满分14分)

解：（1）由题意
，
……………………………………1分所以
…………………………………………2分

当
时，
；当
时，
．

所以
在
上单调递增，在
上单调递减，

故
在
处取得极大值． …………………………………………3分

因为函数
在区间
（其中
）上存在极值，

所以
，得
．即实数
的取值范围是
． ……………4分

（2）由
得
，令
，

则
． ……………………………………………………6分

令
，则
，

因为
所以
,故
在
上单调递增．……………………7分

所以
,从而

在
上单调递增,

所以实数
的取值范围是
． …………………………………………9分

（3）由(2) 知
恒成立,

即
……………………11分

令
则
，……………………12分

所以
，
，……,
．

将以上
个式子相加得：

，

故
． …………………………………14分

（解答题的其他解法可酌情给分）