仲元中学 中山一中 南海中学

2013—2014学年　　　　　　　　　　　 高三第一次联考

潮阳一中 宝安中学 普宁二中

理 科 数 学

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

第一部分 （选择题 满分40分）

一．选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．设
（为虚数单位），则
（　　）

A．
B．
C．
D．

2．设U=R，集合
，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．

C．
D．

3．如果直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则
（ ）

A． 2 B．－2 C．2,－2 D．2,0,－2

4. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”． 给出下列函数：

①
； ②
；

③
； ④
．其中“同簇函数”的是（ ）

A．①② B．①④ C．②③ D．③④

5．右图为某几何体三视图，按图中所给数据,该几何体的体积为 （ ）

A．16 B．16

C．64+16
D． 16+

6．已知实数
，
满足约束条件
’

则
的取值范围是 （ ）

A．[0，1] B．[1，2] C．[1，3] D．[0，2]

7．若等边
的边长为
，平面内一点
满足
，则
( )

A.
B.
C．
D．

8．定义：关于
的不等式
的解集叫
的
邻域．已知
的
邻域为区间
，其中
分别为椭圆
的长半轴和短半轴．若此椭圆的一焦点与抛物线
的焦点重合，则椭圆的方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

第二部分 （非选择题 满分110分）

二、填空题：（本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分）

（一）必做题（9~13题）

9．已知数列
的首项
，若
，
，则
．

10．执行程序框图，如果输入
，那么输出
．

11．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种(用数字作答) ．

12．如图，在棱长为2的正方体
内

（含正方体表面）任取一点
，则

的概率
．

13.设函数
在（
，+
）内有意义．对于给定的正数k，已知函数
，取函数
=
．若对任意的

（
，+
），恒有
=
，则k的最小值为 ．

（二）选做题：考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点
作圆
的切线，则切线的极坐标方程是　　　　　　．

15．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆
的直径
，

为圆周上一点，
，过
作圆的切线
，过
作

的垂线
，垂足为
，则
．

解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明

证明过程或演算步骤．）

16．(本小题满分12分) sj.fjjy.org设
,
,
sj.fjjy.org（1）求
的最小正周期、最大值及
取最大值时
的集合；

（2）若锐角
满足
，求
的值．

17．(本小题满分12分) sj.fjjy.org某市
四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：

中学











人数













为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查．

（1）问
四所中学各抽取多少名学生？

（2）从参加问卷调查的
名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；

（3）在参加问卷调查的
名学生中，从来自
两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用
表示抽得
中学的学生人数，求
的分布列．

18．(本小题满分14分) sj.fjjy.org如图，直角梯形
中，

，
，
，
，

，过
作
，垂足为
．

、
分别是
、
的中点．现将
沿

折起，使二面角
的平面角为
．

（1）求证：平面
平面
；

（2）求直线
与面
所成角的正弦值．

19．(本小题满分14分) sj.fjjy.org已知椭圆
的中心在原点
，离心率
，右焦点为
．（1）求椭圆
的方程；（2）设椭圆的上顶点为
，在椭圆
上是否存在点
，使得向量
与
共线？若存在，求直线
的方程；若不存在，简要说明理由．

20．(本小题满分14分)设
为数列
的前
项和，对任意的
，都有
（
为正常数）．（1）求证：数列
是等比数列；

（2）数列
满足
，求数列
的通项公式；

（3）在满足（2）的条件下，求数列
的前
项和
．

21. (本小题满分14分)设函数

(Ⅰ)当
时，求函数
的最大值；

(Ⅱ)令
（
）其图象上任意一点
处切线的斜率
≤
恒成立，求实数
的取值范围；

(Ⅲ)当
，
，方程
有唯一实数解，求正数
的值．

2013-2014学年度高三第一次教学质量检测试题（理科数学）评分参考

一、选择题 D C C C D D C B

二、填空题 9．
，或
； 10．
； 11． 30；

12．
； 13．
； 14.
15. 30o

16．解：（1）解：
…………………1分

…3分

……4分 最小正周期
……5分

当
，即
时，
有最大值
，

此时，所求x的集合为
．………7分

（2）由
得
，故
…9分

又由
得
， 故
，解得
．……11分

从而
． ………………12分

17．解：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，

抽取的样本容量与总体个数的比值为
．

∴应从
四所中学抽取的学生人数分别为
． …………… 4分

（2）设“从
名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件
，

从
名学生中随机抽取两名学生的取法共有
种，… 5分

来自同一所中学的取法共有
． …………… 6分

∴
．

答：从
名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为
． … 7分

（3）由（1）知，
名学生中，来自
两所中学的学生人数分别为
．

依题意得，
的可能取值为
， ………… 8分

，
，
．…… 11分





















∴
的分布列为： … 12分

18．（1）证明：
DE
AE，CE
AE，
，

AE
平面
， ……3分

AE
平面
，
平面
平面
．……5分

（2）（方法一）以E为原点，EA、EC分别为
轴，建立空间直角坐标系……6分

DE
AE，CE
AE，

是二面角
的平面角，即
=
，……7分

，
，
，

A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，1，0），E（0，0，0），D（0，
，1）．……9分

、
分别是
、
的中点，
F
，G
……10分

=
，
=
，……11分

由（1）知
是平面
的法向量， ……12分

设直线
与面
所成角
，则
，

故求直线
与面
所成角的正弦值为
． ……14分（列式1分，计算1分）

（方法二）作
，与
相交于
，连接
……6分

由（1）知AE
平面
，所以
平面
，
是直线
与平面
所成角……7分

是
的中点，
是
的中位线，
，
……8分

因为DE
AE，CE
AE，所以
是二面角
的平面角，即
=
…9分

在
中，由余弦定理得，

（或
）……11分（列式1分，计算1分）

平面
，所以
，在
中，
……13分

所以直线
与面
所成角的正弦值为
……14分

19．解：（1）设椭圆
的方程为
， ……1分

离心率
，右焦点为
，

，

，
…… 3分

故椭圆
的方程为
．…… 4分

（2）假设椭圆
上存在点
（
），使得向量
与
共线，……5分

，
，

（1） ……6分

又
点
（
）在椭圆
上，

（2） ……8分

由（1）、（2）组成方程组解得：
，或
， ……11分

当点
的坐标为
时，直线
的方程为
，

当点
的坐标为
时，直线
的方程为
，

故直线
的方程为
或
． ……14分

20．解：（1）证明：当
时，
，解得
．…………………1分

当
时，
．即
．…………………2分

又
为常数，且
，∴
．………………………3分

∴数列
是首项为1，公比为
的等比数列．……………………4分

（2）解：
…5分 ∵
，∴

，即
．…7分

∴
是首项为
，公差为1的等差数列．………………………………………8分

∴
，即
．……………………………9分

（3）解：由（2）知
，则
．

所以
， …10分

即
， ① ……11分

则
， ②………12分

②－①得
，……………………13分

故
．……………………14分

21.解：（1）依题意，知
的定义域为
，

当
时，
，
………………2分

令，解得

因为
有唯一解，所以
，当
时，
，此时
单调递增；

当
时，
，此时
单调递减。

所以
的极大值为
，此即为最大值……………………4分

（2）
，则有
在
上恒成立，

∴
≥
，

当
时，
取得最大值
，所以
≥
……………8分

(3)因为方程
有唯一实数解，所以
有唯一实数解，

设
，则
令
，

因为
所以
（舍去），
，

当
时，
，
在
上单调递减，

当
时，
，
在
上单调递增，

当
时，
，
取最小值
.……………10分

则
即

所以
因为
所以
……………12分

设函数
，因为当
时，
是增函数，所以
至多有一解.

sj.fjjy.org∵
，∴方程()的解为
，即
，解得
………14分