高三模拟四考试

数学试题（理科）

（满分：150分，考试时间：120分钟）

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．设a,b是单位向量，则“a·b =1”是“a=b”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

2.已知集合
，集合
，则

A．
B．
C．
D．

3. 双曲线
的一条渐近线方程为
，则双曲线的离心率为

A.
B.
C.
D.

4. 函数
的图象在点
处的切线方程是
，则

A.
B.- C.1 D.2

5. 运行右图所示框图的相应程序,若输入
的值分别为
和
,则输出M的值是

A.0 B.1 C. 2 D. －1

6. 设
，则使函数
的定义域为且为奇函数的所有的值为

A.1，3 B.1，3，

C.1，3，
D. 1，
，3，

7. 某几何体的三视图如右图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积为

A.12 B.
C.
D.

8.已知等差数列
的公差
, 若
,则该数列的前n项和
的最大值为

?? A．60 B．55 C．50 D.45

9. 如图，矩形
内的阴影部分是由曲线
及直线
与轴围成，向矩形
内随机投掷一点，若此点落在阴影部分的概率为
，则的值是

A.
　　 B.
　　 C.
　 D.

10. 已知
是定义在R上的可导函数，且
对于任意
恒成立，则

A.

B.

C.

D.

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．

11.已知向量
，且
与
的夹角为锐角，则实数
的取值范围是 .

12. 设实数
满足约束条件
，若
的最小值为
，则的值为 .

13.若将
逐项展开得
，则
出现的概率为
，出现的概率为
，如果将
逐项展开，那么
出现的概率为 .

14. 已知函数
，若函数
有三个零点，则实数的取值范围是 .

15．已知
，则满足不等式
的实数
的范围是 .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共75分）

16．（本小题12分）设函数
的最小正周期为
．

（Ⅰ）求的值．

（Ⅱ）若函数
的图像是由
的图像向右平移
个单位长度得到的，求
的单调递增区间．

17.（本小题12分）数列
各项均为正数，其前项和为
，且满足
．

（Ⅰ）求证：数列
为等差数列，并求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
， 求数列
的前n项和
的最小值．

18.（本小题12分）在四棱锥
中，侧面
底面
，
，为
中点，底面
是直角梯形.


.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）设
为侧棱
上一点，
，试确定
的值，使得平面PBD与平面QBD的夹角为
.

19.（本小题12分）已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为
的椭圆过点

（
，
）．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设不过原点O的直线与该椭圆交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

20. （本小题13分）第30届奥运会已于2012年7月27日在伦敦举行，当时某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者，这20名志愿者的身高如下茎叶图（单位：
）：若身高在180
以上（包括180
）定义为“高个子”，身高在180
以下（不包括180
）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”.

（Ⅰ）用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，如果从这5人中随机选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？

（Ⅱ）若从所有“高个子”中随机选3名志愿者，用
表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出
的分布列，并求
的数学期望.

男



女







8

16

5

8

9







8

7

6

17

2

3

5

5

6



7

4

2

18

0

1

2











1

19

0













21.（本小题14分）已知函数
.

（Ⅰ）求
的极值；

（Ⅱ）若函数
的图象与函数
=1的图象在区间
上有公共点，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）设各项为正的数列
满足：
，求证：

高三模拟数学（理科）参考答案与评分标准

一、选择题：（每小题5分，满分50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

B

C

D

C

A

D

D

B

A



二、填空题: （每小题5分，满分25分）

11．
； 12．1； 13．
； 14．
; 15．
.

三、解答题：

16. 解：（Ⅰ）

，

依题意得
，故的最小正周期为
. …………6分

（Ⅱ）依题意得:
，

由
，

解得
，

故
的单调增区间为:
. …………12分

17．解：（Ⅰ）∵
，∴当n≥2时，
，

整理得，
（n≥2），又
，

∴数列
为首项和公差都是1的等差数列．

∴
，又
，∴
.

∴n≥2时，
，又
适合此式，

∴数列
的通项公式为
. …………6分

（Ⅱ）∵
，

∴

=
，

的最小值为
. …………12分

18．解：（I）取
的中点，连结
，

因为为
中点，∴
，且
，

在梯形
中，
，∴

四边形
为平行四边形，∴

平面
，
平面
，∴
平面
.…………6分

（II）如图，以D为原点建立空间直角坐标系
，

则
，

平面
的法向量为

，
，设

平面
的法向量为
，

，

由
，∴
，

∴
，注意到
. …………12分

19．解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为
（a＞b＞0），

则
故
，

所以，椭圆方程为
．…………4分

（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，

故可设直线l的方程为 y＝kx＋m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），

由
消去y得（1＋4k2）x2＋8kmx＋4（m2－1）＝0，

则△＝64 k2b2－16（1＋4k2b2）（b2－1）＝16（4k2－m2＋1）＞0，

且
，
．…………6分

故 y1 y2＝（kx1＋m）（kx2＋m）＝k2x1x2＋km（x1＋x2）＋m2．

因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，

所以，
＝
＝k2，即
＋m2＝0，又m≠0，

所以 k2＝
，即 k＝
．…………10分

由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得0＜m2＜2 且 m2≠1．

设d为点O到直线l的距离，

则 S△OPQ＝
d | PQ |＝
| x1－x2 | | m |＝
，

所以 S△OPQ的取值范围为 （0，1）．…………12分

20．解：（I）根据茎叶图可知，这20名志愿者中有“高个子”8人，“非高个子”12人，用分层抽样的方法从中抽出5人，则每个人被抽到的概率为
，所以应从“高个子”中抽
人，从“非高个子”中抽
人.

用事件A表示“至少有一名‘高个子’被选中”，则它的对立事件
表示“没有一名‘高个子’被选中”，则
,

因此至少有1人是“高个子”的概率是
；…………6分

（II）依题意知，所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数
的所有可能为0,1,2,3.

,
,

，
，

因此，
的分布列如下：

0

1

2

3















所以
的数学期望
.…………13分

21．解：（Ⅰ）
，

令
，

当
是增函数；

当
是减函数；

∴
，无极小值. …………4分

（Ⅱ）①当
时，即
，

由（Ⅰ）知
上是增函数，在
上是减函数，

，

又当

时，
，

∴
的图象在
上有公共点，

.

解得
.

②当
时，
上是增函数，

∴
，

所以原问题等价于
又
，∴无解，

综上，实数a的取值范围是
. …………10分

（Ⅲ）令=1，由（Ⅰ）知，

，假设
，

则
，故

从而

，

即
. …………14分