重庆市杨家坪中学高2014级高三（上）第一次月考

数 学 试 题（理科）

考试时间120分钟 总分 150分

一、选择题（本题有10个小题，每小题5分，共50分，只有一个选项是正确的，请将正确答案涂在答题卡的相应位置）

1．已知全集
，集合
那么集合
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知

则“
且
”是“
且
”成立的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知命题
：
，
．则
是（ ）

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

4．


的最大值为( )

A.9 B.
C.
D.

5．已知
是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是（　　）

A．
B．

C．
D．

6. 若幂函数
的图像经过点

，以下结论正确的是（ ）

A．
B．
与
的图像有两个公共点

C．
与
都是偶函数 D．
对
总成立

7．定义在R上的可导函数
，已知
的图象如图所示，则
的单调递增区间是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．函数
与
在同一平面直角坐标系内的大致图象为（　 ）

9.已知函数
的零点依次为
,b,c,则( )

A．
B．
C．
D．

10.定义在
上的函数偶函数
满足
，
时，
，且函数
，则函数
在区间
内的零点的个数是( )

A．
B．
C．
D．

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置)

11．设集合A＝{－1,1,3}，B＝
，A
B＝
，则实数
＝____．

12．



________．

13．函数

的定义域是 ．

14.已知函数
在区间
上为增函数,则实数
的取值范围是___ .

15．已知定义在R上的偶函数
满足：
，且当x∈[0，2]时，
单调递减，给出以下四个命题：

①f(2)=0；

②
为函数
图象的一条对称轴；

③函数
在[8，10]单调递增；

④若方程
在
上的两根为
，则
.

以上命题中所有正确命题的序号为 ．

三、解答题（共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请将答案写在答题卡相应位置）

16．（本小题13分）集合A是由具备下列性质的函数
组成的：(1) 函数
的定义域是
； (2) 函数
的值域是
；(3) 函数
在
上是增函数．试分别探究下列两小题：

（1）判断函数
，及
是否属于集合A？并简要说明理由．

（2）对于（I）中你认为属于集合A的函数
，不等式
，是否对于任意的
总成立？若不成立，说明理由？若成立，请证明你的结论．

17.（本小题13分）已知
，设命题p：函数
在R上单调递增；命题q：不等式
对?
∈R恒成立．若p且q为假，p或q为真，求
的取值范围．

18．（本小题13分）已知函数
满足
，
是不等于
的常数．

（1）若当
时，
，求函数
的值域；

（2）在（1）的条件下，求函数
，
的解析式；

（3）在（1）的条件下，求函数
的解析式．

19．（本小题12分）已知函数

（1）若
为
的极值点，求
的值；

（2）若
的图象在点（1，
）处的切线方程为
，求
在区间[-2，4]上的最大值．

20.（本小题12分）已知函数

（1）求
在
处的切线方程
；

（2）若
的图像上横坐标为
的极值的一个点到直线
的距离为1，求
的值；

（3）求方程
的根的个数.

21．（本小题12分）设函数
的定义域D关于原点对称，0∈D，且存在常数
，使
，并满足
.

（1）在三角函数中写出
的一个函数解析式，并说明其符合题设条件；

（2）判断并证明函数
的奇偶性；

（3）若存在正常数T，使得等式
或者
对于
∈D都成立，则都称
是周期函数，T为周期；试问
是不是周期函数？若是，求出它的一个周期T；若不是，说明理由.

重庆市杨家坪中学高2014级高三（上）第一次月考

数 学 试 题（理科）参考答案

1—10 DAABD DBCAC

11.
；12.
；13.
或
；14.
；15. ①②④

16．（13分）解：（1）函数
不属于集合A. 因为
的值域是
,不是
，所以函数
不属于集合A．

或举出一个反例，如：当
时
，不满足条件（2），所以
不属于集合A．

属于集合A, 因为: ① 函数
的定义域是
；②函数
的值域是
；③ 函数
在
上是增函数．

（2）对于
，
对于任意的
总成立。

证明如下：记
，则

，

当
时，
总成立．

对于任意的
总成立。

17.（13分）解：若命题p是真命题，函数
在R上单调递增，则
．∴p是真命题，
．

若命题q是真命题，则不等式
对?
∈R恒成立，∴
且
，解得
，∴q为真命题，
．

∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴p、q中必有一真一假．

①当p真q假时，
，得
.②当p假q真时，
，得
.

故
的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．　

18．（13分）解：（1）
．

（2）因为函数
满足
且
，

所以
，
．若当
时，
，则

当
时，
，

（3）当
，
时

，

．

19．（12分）解：（1）

是
的极值点，
，即

或
.

当
时，
，
是
的极小值点，

当
时，

，
是
的极大值点

的值为0或2.

（2）
在
上.

∵（1，2）在
上

又
，
，
，

由
得
和
，列表：

-2



0

（0，2）

2

（2，4）

4







+



—



+









增

8/3

减

4/3

增

8



 由上表可得
在区间[－2， 4]上的最大值为8.

20.（12分）解：（1）

且

故
在点
处的切线方程为：

（2） 由
得
，当
时
，当
时，
，可知
仅有一个极小值点
，
图像上以0为横坐标的点为
，根据题意得：
，得
或

或

（3）
，令
，

则

令
，得


）



0













0

+

+





减

减



增

增



由表可知当
时，
有极小值
.

又
，
为偶函数，它的图像关于
轴对称.

当
时，
；当
时，
； 当
时，
.

当
时，
；当
时，
；当
时，
.

结合图像得
的根的情况，即
的根的情况为：

当
时，原方程有2个根；

当
时，原方程有3个根；

当
时，原方程有4个根

21．（12分）解：（1）取
，定义域为

关于原点对称，且0∈D；且存在常数
使得
；

由两角差的正切公式知，符合
.

（2）
是D上的奇函数；证明如下：
函数
的定义域D关于原点对称，且0∈D，由
得
，

又
，得
，所以
是D上的奇函数. （3）考察
的最小正周期T=π=
，可猜测4
是
的一个周期.

证明：由已知

，则

，

，
是正的常数

所以
)是周期函数，
是
的一个周期.