本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟；

第Ⅰ卷（共80分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答
案的字母填在答题卡中．

1.已知
，则
（ ）

A.

B.
C.
D.

2.设
是虚数单位，复数
为纯虚数，则实数
为 ( )

A.
B.
C.
D.

3. 下列函数中周期为
且为偶函数的是( )

A．
B.
C.
D．

4.二项式
的展开式中的常数项是 ( )

A. 第10项 B. 第9项 C. 第8项
D. 第7项

5. 已知
均为单位向量，它们的夹角为
，那么
( )

A.
B.
C.
D.

6.“
=1”是“函数
在区间
上为增函数”的（ ）

A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不
必要条件

7. 设随机变量错误！未找到引用源。服从正态分布错误！未
找到引用源。，若错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。的值为（ ）

A.错误！未找到引用源。 B.错误！未找到引用源。 C.5 D．3

8.已知
是
上的奇函数，
,

则数列
的通项公式为 （ ）

A.
B.
C.
D.

9.小球A在右图所示的通道由上到下随机地滑动，最后在下底面的某个出口落出，则一次投放小球，从“出口3”落出的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

[来源:Z*xx*k.Com]

10．设F为椭圆
的左焦点，A、B、C为该椭圆上三点，若
，则
的值为 （ ）

A．
B．
C．
D．

11.已知正三棱锥
,斜高与底面
的夹角为
，在侧面
上有一点
，过
做底面
的高，垂足为
,已知
，求
点轨迹为（ ）

A．圆弧 B．线段 C．抛物线 D．圆

已知函数
的定义域为
，且
若

那么
的取值范围是 （ ）

A.
或
B.
或
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，

13. 已知椭圆
，则椭圆内接矩形面积的最大值为 。

14. 已知实数x，y满足
且
仅在点（3,2）处取得最大值，则
的取值范围是 。

15．函数
，则下列说法中正确的是 （只写序号）

①函数
有3个零点；

②若
时，函数
恒成立，则实数
的取值范围是
；

③函数
的极大值中一定存在最小值；

④
，
，对于一切
恒成立．

16．已知三棱锥
，三组对棱两两相等，且
，若三棱锥
的外接球表面积为
．则
。

第Ⅱ卷（70分）

三、解答题：本大题共6小题，17-
21题每小题12分，选做22-24题10分，共70分。

17．（本小题满分12分）已知
中，
、
、
是三个内角
、
、
的对边，关于

的不等式
的解集是空集．

（Ⅰ）求角
的最大值；

（Ⅱ）若
，
的面积
，求当角
取最大值时
的值．

18．（本小题满分12分）

如图，已知直三棱柱
，
，
是棱
上动点，
是

中点 ，
，
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）当
是棱
中点时，求证：
∥平面
；

（Ⅲ）在棱
上是否存在点
，使得二面角

的大小是
，若存在，求
的长，若不存在，请说明理由.

19．(1)用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案?

(2)用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花．

①求恰有两个区域用红色鲜花的概率；

②记花圃中红色鲜花区域的块数为S，求拿的分布列及其数学期望E(S).

20．已知曲线

（I）若直线
与曲线C只有一个公共点，求实数m的取值范围；

（II）若直线
与曲线C恒有两个不同的交点A和B，

且
（其中O为原点），求实数k的取值范围。

21.（本小题满分12分）已知函数
（其中
为常数）.

(1)当
时，求函数的单调区间；

(2) 当
时，设函数
的3个极值点为
，且
.

证明：
.

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连结MC，MB，OT．

（1） 求证：
；

（2） 若
，试求
的大小．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知在平面直角坐标系
内，点
在曲线C：
为参数，
）上运动．以
为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线
与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求
面积的

最大值，并求此时M点的坐标

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

关于
的不等式

（Ⅰ） 当
时，解
不等式；

（Ⅱ）设函数
，当
为何值时，
恒成立？

2013--2014学年度高三10月考试数学试题（理）答案：

1—12 CDABA CACDB BA

13—16

②④

18．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的计算，考查空间想象能力、思维能力和运算能力．满分12分．

（Ⅰ）证明：∵三棱柱
是直棱柱，∴
平面
.

又∵
平面
，

∴

. ………………
1分

∵
，
，
是
中点，

∴

. ………………2分

又∵
∩
， ………………3分

∴
平面
. ………………4分

又∵
平面
，
平面
，

∴
∥平面
. ………………8分

（Ⅲ）解：以
为坐标原点，射线
为
轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系
，

∵ 三棱柱
是直棱柱，

∴
平面
.

又∵
平面
，

∴

.

∵
，

∴

.

∵
∩
，

∴

平面
.

∴
是平面
的法向量，
.

二面角
的大小是
，

则
. 解得
.

∴ 在棱
上存在点
，使得二面角
的大小是
，

此时
. ……………12分

19．（1）根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有：
种．

（2）① 设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，

如图二，当区域A、D同色时，共有
种；

当区域A、D不同色时，共有
种；

因此，所有基本事件总数为：180+240=420种

(由于只有A、D，B、E可
能同色，故可按选用3色、4色、

5色分类计算，求出基本事件总数为
种）

它们是等可能的。又因为A、D为红色时，共有
种；

B、E为红色时，共有
种；

因此，事件M包含的基本事件有：36+36=72种．

所以，
=
．

②随机变量
的分布列为：

0[来源:学.科.网Z.X.X.K]

1

2



P


[来源:Zxxk.Com]







 所以，
=
．

综上可得：

所以实数m的取值范围为
…………6分

（II）直线
与曲线C恒有两个不同的交点A和B，由题可得只能交双曲线上半部分于A和B两点 …………8分

联立
，

由题可得
， …………10分

所以
…………12分

21解：(Ⅰ)

令
可得
.列表如下:













-

-

0

+





减

减

极小值

增



单调减区间为
,
;增区间为
.------
------3分

(Ⅱ)由题，

对于函数
，有