沈阳二中2013——2014学年度上学期10月

阶段验收高三（14届）数学（理科）试题

命题人： 高三数学组 审校人： 高三数学组

说明：
1.测试时间：120分钟 总分：150分

2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上 [来源:Z§xx§k.Com]

第Ⅰ卷 （60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集U=R，集合A={x|
＜0}，B={x|x≥1}，则集合{x|x≤0}等于（　　）

A．
B．
C．

D．

2等差数列
中,
,则
的值为( )

A．130 B．260 C．156 D．168

3．已知命题p：?x∈R，使
；命题q：?x∈R，都有
．下列结论中正确的是（　　）

A．

命题“p∧q”是真命题

B．

命题“p∧
”是真命题



　[来源:学科网]

C．

命题“
∧q”是真命题

D
．

命题“


”是假命题



4.已知函数
的导函数的图像如图所示，若
为锐角三角形，则一定成立的是 （ ）

A．
B．

C．
D．

5．定义在D上的函数f（x），如果满足：对?x∈D，存在常数M＞0，都有
成立，则称f（x）是D上的有界函数．则下列定义在R上的函数中，不是有界函数的是（　　）

A．

f（x）=sinx2

B．

f（x）=

C．



D．







6.若函数f（x）=loga（x+b）的图象如图，其中a，b为常数．

则函数g（x）=ax+b的大致图象是（　　）

A．



B．



C．



D．

























7.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若
，则B=（　　）

A．

45°或13
5°

B．

135°

C．

45°

D．

以上答案都不对





8.．设
为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足
不共线，
，
，则
的值一定等于(　　)

A．以
为两边的三角形的面积

B．以
为两边的三角形的面
积

C．以
为邻边的平行四边形的面积

D．以
为邻边的平行四边形的面积

9.．若数列｛an｝的前n项和为Sn＝an－1(a≠0)，则这个数列的特征是( )��

A．等比数列 B．等差数
列 C．等比
或等差数列 D．非等差数列

10． 已知O是平面上的一个定点，A，B，C，是平面上不共线三个点，动点P
满足

，则动点P的轨迹一定通过△ABC
的（ ）

A
．重心 B．垂心 C．外心 D．内心

11.若不等式组
的解集中所含整数解只有-2，求
的取值范围( )

A.
B．
C．
D．

12.数列
的前40项的和是（ ）

A
B
C 19 D 18

第Ⅱ卷 （90分）

二、填空题: 本大题共4小题，
每小题5分，共20分.

13．函数
的定义域为　________

14．已知
是非零向量，且满足
，
，则
的夹角是______

15.当实数
满足约束条件
（
为常数）时
有最大值为12，则实数
的值为 .

16. 已知函数
只有两个不等实根，则实数
的范围是___________

三、解答题：本大题
共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.

17. （本小题满分10分）

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、
c，向量

且
∥

(1)求锐角B的大小；[来源:Zxxk.Com]

(2)如果b＝2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．

18. （本小题满分12分）

已知函数

．

（Ⅰ）求函数

的最小正周期及在区间
上的最大值和最小值．

（Ⅱ）若
，
．求
的值．

19. （本小题满分12
分）

在一个盒子中，放有标号分别为

，
，
的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为
、
，设
为坐标原点，点
的坐标为
，记
．[来源:学科网ZXXK]

(1)求随机变量
的最大值，并求事件“
取得最
大值”的概率；

(2)求随机变量
的分布列和数学期望．

20. （本小题满分1
2分）

已知数列
的前
项和为
,

(1)求数列
的通项公式；

（2）若
，求
的值.

21. （本小题满分12分）

已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．

（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，对?x∈（0，+∞），
f（x）≥ bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围；

（2）当0＜x＜y＜e2且x≠e时，试比较
与
的大小．[来源:学科网]

22. （本小题满分12分）

已知函数
为常数），直线
与函数
、
的图象都相切，且
与函数
图象的切点的横坐标为1．

（1）求直线
的方程及
的值
；

（2）若
g′
[注：g′
是g
的导函数]，求函数
的单调递增区间；

（3）当
时，试讨论方程
的解的个数．

沈阳二中2013——2014学年度上学期10月

阶段验收高三（14届）数学（理科）试题参考答案

一、选择题

1.D 2.A 3.C 4.C 5.D 6.D 7.C 8. C 9.C 10.A 11.A 12.C

二、填空
题

13.
．

14. 

15. -12

16. [3,4 )

三、解答题

17. (1)∵m∥n，

∴2sinB＝－cos2B，

∴sin2B＝－cos2B，即tan2B＝－，

又∵B为锐角，∴2B∈(0，π)，

∴2B＝
，∴B＝
.

(2)∵B＝，b＝2，[来源:学#科#网]

∴由余弦定理cosB＝得，

a2＋c2－ac－4＝0，

又∵a2＋c2≥2ac，∴ac≤4(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，

S△ABC＝acsinB＝ac≤(当且仅当a＝c＝2时等号成立)．

18.（Ⅰ）由
得

．

所以函数的最小正周期为
．因为
，所以
．

所以
，即
时，函数
为增函数，而在
时，函数
为减函数，所以
为最大值，
为最小值．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，又由已知
，则
．

因为
，则
，因此
，[来源:Zxxk.Com]

所以
，于是
，

．

19.解:(1)
、
可能的取值为
、
、
，
，
，

，且当
或
时，
． 因此，随机变量
的最大值为
…………………………4分

有放回抽两张卡片的所有情况有
种，
…………………6分

(2)
的所有取值为
．
时，只有
这一种情况．

时，有
或
或
或
四种情况，

时，有
或
两种情况．

，
，
…………………………8分

则随机变量
的分布列为：























因此，数学期望
…………………………12分

20.(1)
…………………6分

(2)
,
[来源:学科网]

…………………………12分

21





(1）函数f（x）的导数f′（x）=a﹣
．通过在x=1处取得极值，得出a=1；将f（x）≥bx﹣2恒成立，即（1﹣b）x＞lnx﹣1，将b分离得出，b＜1﹣
，令g（x）=1﹣
，只需b小于等于g（x）的最小值即可．利用导数求最小值．

（2）由（1）g（x）=1﹣
在（0，e2）上为减函数，g（x）＞g（y），1﹣
＞1﹣
，整理得
＞
，考虑将1﹣lnx除到右边，为此分1﹣lnx正负分类求解．





解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=a﹣
．

∵函数在x=
处取得极值，∴a=1，

f（x）=x﹣1﹣lnx，

∵f（x）≥bx﹣2，移项（1﹣b）x＞lnx﹣1
，将b分离得出，b＜1﹣
，令g（x）=1﹣
，

则令g′（x）=
，可知在（0，e2）上g′（x）＜0，在（e2，+∞）上g′（x）＞0，

∴g（x）在x=e2处取得极小值，也就是最小值．此时g（e2）=1﹣
，

所以b≤1﹣
．

（1）由（1）g（x）=1﹣
在（0，e2）上为减函数．0＜x＜y＜e2且x≠e时，

有g（x）＞g（y），1﹣
＞1﹣
，整理得
＞
①

当0＜x＜e时，1﹣lnx＞0，由①得，
＞

当e＜x＜e2时，1﹣lnx＜0，由①得
＜
．



22.解：（1）由
，

故直线
的斜率为1，切点为（1，
），即（1，0）
，

∴直线
的方程为
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

直线
与
的图象相切，等价于方程组

只有一解，

即方程
的两个相等实根，

∴
，∴
．　　

（2）∵
，

由
，　　　　　　　　　　
　　　　

∴
，∴当

时，
是增函数，

即
的单调递增区间为（
，0）　　　　　　　　　　　　　

（3）令
，
．由
，

令
，则
，
，1．　　　　　　　　　　　　　

当
变化时，
的变化关系如下表：

（
）

－1

（－1，0）

0

（0，1）

1

（1，
）[来源:学科网ZXXK]





+[来源:学_科_网Z_X_X_K]

0

－

0

+

0

－







极大值



极小值



极大值





又
为偶函数，

据此可画出
的示意图如
右图：

当
时，方程无解；

当
或
时，方程有两解；

当
时，方程有三解；

当
时，方程有四解．