一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合

，
，则
（ ）

A、
B、
C、
D、

2、已知复数
，则复数
在复平面内对应的点位于 （ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

3、某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（ ）

A、9 B、18

C、27 D、36

4、已知
为等比数列，若
，

则
（ ）

A、10 B、20 C、60 D、100

5、右图的算法中，若输入A=192，B=22，输出的是（ ）

A、0 B、1 C、2 D、4

6、把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为 （ ）

A、
B、
C、
D、

7、给定命题
：函数
和函数
的图象关于原点对称；命题
：当
时，函数
取得极小值．下列说法正确的是 （ ）

A、
是假命题 B、
是假命题

C、
是真命题 D、
是真命题

8、半径为1的球面上的四点A，B，C，D是正四面体的顶点，则A
与B两点间的球面距离为（ ）

A、
B、
C、
D、

9、函数
的部分图象大致是 （ ）

10、集合
,
，将集合
中的所有元素排成一个递增数列，则此数列第68项是 （ ）

A、464 B、466
C、468 D、666

11、已知函数

，且

，

的导函数，函数
的图象
如图所示．则

平面区域
所围成的面积是（ ）

A、2 B、3 C、4 D、5

12、如图，在等腰梯形ABCD
中，AB∥CD，且AB=2AD，设
，
，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为
，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为
，则（ ）

A、随着角度
的增大，
增大，
为定值

B、随着角度
的增大，
减小，
为定值

C、随着角度
的增大，
增大，
也增大

D、随着角度
的增大，
减小，
也减小

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13、已知随机变量
服从正态分布
= 。.

14、若一个几何体的三视图如图所示，

则此几何体的体积为　 ．

15、已知
，

A是曲线
与
围成的区域，

若在区域Ω上随机投一点P，则点P

落入区域A的概率为__________。[来源:学§科§网]

16、点
在函数
的图象上运动，则2x﹣y的最大值与最小值之比为　　　　．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、18、19、20、21每题12分，22、23、24每题10分。

17、已
知
是
的三个内角，向量m
,

向量n
,m//n共线.

（Ⅰ）求角
；

（Ⅱ）若
，求
的值.

18、某大学高等数学老师上学期分别采用了
两种不同的教学方式对甲、乙两个大一新生班进行教改试验（两个班人数均为60人，入学数学平均分数和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）。现随机抽取甲、乙两班各20名同学的上学期数学期末考试成绩，得到茎叶图如下：



（Ⅰ）从乙班这20名
同学中随机抽取两名高等数学成绩不得低于85分的同学，求成绩为90分的同学被抽中的概率；

（Ⅱ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，请填写下面的
列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”

甲班

乙班

合
计



优秀









不优秀









合计









下面临界值表仅供参考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072[来源:学*科*网]

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



 （参考公式：
其中
）

（Ⅲ）从乙班高等数学成绩不低于85
分的同学中抽取2人，成绩不低于90分的同学得奖金100元，否则得奖金50元，记
为这2人所得的总奖金，求
的分布列和数学期望。

望。

19、 如图，四棱锥
中，底面
为梯形，

，
∥
，
，

底面
，
为
的中点．

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）若
，求二面角
的余弦值．

20、在直角坐标系
上取两个定点
，

再取两个动点
且
．

（Ⅰ）求直线
与
交点的轨迹
的方程；

（II）已知
，设直线
：
与（I）中的轨迹
交于
、
两点
，直线
、
的倾斜角分别为
，且
，求证：直线
过定点，并求该定点的坐标.

21、函数
．

（Ⅰ）当
时，求证：
；

（II）在区间
上
恒成立，求实数
的范围；

（Ⅲ）当
时，求证：
…
（
）

请考生在
三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22、如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，

⊙O交直线OB于E、D，连结EC、CD.

（Ⅰ）求证：直线AB是⊙O的切线；

（Ⅱ）若tan∠CED=
,⊙O的半径为3，求OA的长.

23、在直角坐标系
中，以O为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为
，曲线
的参数方程为
，（
为参数，
）。

（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；

（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数
的取值范围。

24、
已知函数

（Ⅰ）当
时，求函数
的定义域；

（Ⅱ）当函数
的定义域为R时，求实数
的取值范围。

高三期初考试数学试题（理科）

………………………………11分[来源:学。科。网]

（元） ………………………………12分

19、解：（Ⅰ）由余弦定理得
，∴
，

∴
，

∴
．∵
底面
，
底面
，∴
．又∵
，∴
平面
，

又
平面
，∴
．
6分

（Ⅱ）已知

，
，由（Ⅰ）可知
平面
，

如图，以D为坐标原点，射线DB为
x轴的正半轴建立空间直角坐标系
，

则



,

，
，
，
. 8分

设平面
的法向量为
，则
，

∴
，令
，∴可取
． 9分

同理设平面
的法向量为
，则
，

∴
． 10分

∴

∴二面角
的余弦值大小为
． 12分

，且
………7分

由已知
，得
，
……8分

化简，得

代入，得
∴ 整理得
． ……10分

∴直线
的方程为y=k（x-4），因此直线
过定点，该定点的坐标为（4，0）. ……12分

21、（Ⅰ）证明:设

则
,则
,即
在
处取到最小值, 则
,

即原结论成立. ………3分

（Ⅱ）解: 由
得
即
,

另
,
另
,

则
单调递增,所以
[来源:学科网]

因为
,所以
,即
单调递增,则
的最大值为

所以
的取值范围为
. ………7分[来源:学,科,网]

（亦可新建函数
，分
三种情况讨论，得到
的取值范围为
）

（Ⅲ）证明: 由第一问得知
则

………9分

则

[来源:学科网ZXXK]

……12分

23、解：（Ⅰ）曲线
的极坐标方程为
,

∴曲线
的直角坐标方
程为
． ……………………………………4分

（Ⅱ）曲线
的直角坐标方程为

,为半圆弧，

如下图所示，曲线
为一族平行于直线
的直线，

当直线
过点
时，利用
得
，

舍去
，则
，

当直线
过点
、
两点时，
，

∴由图可知，当
时，曲线
与曲线
有两个公共点． ………10分

[来源:学&科&网Z&X&X&K]