2013—2014学年度上学期高三一轮复习

数学（文）单元验收试题（8）【新课标】

命题范围：不等式

说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间120分钟。

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．（2013年高考福建卷（文））若
,则
的取值范围是（　　）

A．
B．
C．
D．

2．不等式
的解集是为（ ）

A．
B．
C．（―2，1） D．
∪

3．如果
,那么下列不等式成立的是（　　）

A．
B．
C．
D．

4．若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a 的取值范围是（　　）

A．(-∞,+∞) B．(-2, +∞) C．(0, +∞) D．(-1,+∞)

5．当
时，函数
的最小值为

A．2 B．
C．4 D．

6．设
，函数
，则使
的
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

7．某旅行社租用
、
两种型号的客车安排900名客人旅行,
、
两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且
型车不多于
型车7辆.则租金最少为（　　）

A．31200元 B．36000元 C．36800元 D．38400元

8．若变量
满足约束条件
,则
的最大值和最小值分别为（　　）

A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0

9．对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式
都成立的x的取值范围（ ）

A．
B．
C．
D．

10．一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度
(
的单位:
,
的单位:
)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;
)是（　　）

A．
B．
C．
D．

11．（2013年高考江西卷（文））下列选项中,使不等式x<
<
成立的x的取值范围是（　　）

A．(
,-1) B．(-1,0) C．0,1) D．(1,+
)

12．（2013年高考山东卷（文））设正实数
满足
,则当
取得最大值时,
的最大值为（　　）

A．0 B．
C．2 D．

第Ⅱ卷

二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

13．已知
是定义域为
的偶函数,当
≥
时,
,那么,不等式
的解集是 .

14．已知
.

15．已知变量
，
满足约束条件
。若目标函数
（其中
）仅在点
处取得最大值，则
的取值范围为 。

16．（2013年上海高考数学试题（文科））设常数
,若
对一切正实数
成立,则
的取值范围为 。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共76分)。

17．（12分）（2013年上海高考数学试题（文科））甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求
),每小时可获得利润是
元.

(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围;

(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.

18．（12分）某公司准备推出一个新产品，打算拨出款项3万6千元在本地的电视台做广告，.当地电视台广告部安排该公司的广告在晚上八点前和九点后做广告。晚八点前的广告每秒400元，九点后的广告每秒600元，每次播出的时间在10到60秒之间。

根据市场调查研究表明，受广告影响的人数依赖于广告播出的时间以及年龄层次，受广告影响的人数总是和广告播出的时间成正比例。广告时每秒影响各年龄组的人数(千人)估计如表所示。

青年组

中年组

老年组



晚八点前广告（每秒）

30

100

50



晚九点前广告（每秒）

50

80

40



现在的要求是广告宣传至少要影响1 500 000个年轻人，2 000 000个中年人和2 000 000个老年人。该公司也估计了在第一个月内受广告影响的人中，每10个年轻人中有1人、20个中年人中1人、50个老年人中1人将购买一件新产品〈并且假设没有一个人第二次再买〉，则若使第一个月的销售额最大，如何来安排广告？

19．（12分）

已知集合P=
的定义域为Q．

（1）若P∩Q≠
范围；

（2）若方程
求实数
的取值范围．

20．（12分）

已知二次函数f (x)=
,设方程f (x)=x的两个实根为x1和x2．

(1)如果x1<2＜x2<4，且函数f (x)的对称轴为x=x0，求证：x0＞—1；

(2)如果∣x1∣<2，，∣x2—x1∣=2，求
的取值范围．

21．（12分）

已知f(x)是定义在[—1，1]上的奇函数，且f (1)=1，若m，n∈[—1，1]，m+n≠0时有

(1)判断f (x)在[—1，1]上的单调性，并证明你的结论；

(2)解不等式:
；

(3)若f (x)≤
对所有x∈[—1，1]，
∈[—1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

22．（14分）如图，建立平面直角坐标系
，
轴在地平面上，
轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程
表示的曲线上，其中
与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标
不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

参考答案

一、选择题

1．D；2．C；3．D；4．D；5．D；6．B；7．C；8．B；9．A；10．C；11．A；12．C；

二、填空题

13．
；14．12；15．
；16．
；

三、解答题

17．解： (1)根据题意,

又
,可解得

(2)设利润为
元,则

故
时,
元.18．解：（1）由已知
,

若P∩Q≠
内至少有一个x值，使不等式
，即，

在
．

（2）∵方程

19．解：(1)设g(x)= f (x)—x=
，且g(4)>0，即

∴

(2)由g(x)=
．

①若02，∴g(2)=4a+2b—1<0，

又
，代入上式得

②若一2

故当0

20．解析：本题涉及的变量较多,因此弄清问题的意义，确定变量并寻找变量间的关系就显得特别重要。

(1) 变量情况。

主要变量：限制在10秒和60秒之间的两次广告时间；

制约变量：总的费用≤36 000元，需影响年轻人数≥1500千人，需影响中年人数≥2 000千人，需影响老年人数≥2000千人。

(2) 变量间的关系：

总的费用=(购买的时间×每秒价格)之和；

影响的人数=(购买的时间×相应年龄组每秒影响的人数)之和；

销售额=(占影响人数的份额×对应组影响的人数)之和。

(3)建模与求解：记x、y分别表示早、晚购买的时间(秒)；S=第一个月的销售额(用千人表示)，C=总的费用(元)；Y、M、O分别表示年轻、中年、老年组受到广告影响的人数(千人)。

于是有：

C=400x＋600y ≤3 600,

Y=30x＋50y≥1500,

M=100x＋80y≥2 000, (*)

O=50x＋40y≥2 000,

10≤x≤60, 10≤y≤60

要求S=0.1Y＋0.05M＋0.02O=9x＋9.8y的最大值。

符合约束条件(*)的点(x,y)在如上图所示的六边形区域内，求S=9x+9.8y的最大值转化为求直线y=9x/9.8＋S/9.8的截距S/9.8的最大值。由图知，当此直线过图中直线400x+600y=3600和x =60的交点A(60,20)时，截距最大,此时Smax=9×60+9.8×20=736(千人)。

(4) 结论：如上讨论可知，满意的结果是第一个月的销售额是736 000（份）只要购买晚八叫点前60秒和九点后20秒的广告即可。此时，花掉了所有的预算并超过所有年龄组所要求影响的人数。

21．解：(1)任取—1≤x1

f (x1)—f (x2)= f (x1)+f (－x2)=

∵—1≤x1

由已知
＞0，又x1－x2＜0，

∴f (x1)—f (x2)＜0，即f (x)在[—1，1]上为增函数．

(2) ∵f (x)在[—1，1]上为增函数，故有

(3)由(1)可知：f（x）在[—1，1]上是增函数，且f (1)=1，故对x∈[—l，1]，恒有f（x）≤1．

所以要使f（x）≤
，对所有x∈[—1，1]，
∈[—1，1]恒成立，

即要
≥1成立，故
≥0成立．

记g(
)=
对
∈[—1，1]，g(
)≥0恒成立，只需g(
)在[—1，1]上的最小值大于等于零．

故

解得：t≤—2或t=0．

22．解：（1）在
中，令
，得
。

由实际意义和题设条件知
。

∴
，当且仅当
时取等号。

∴炮的最大射程是10千米。

（2）∵
，∴炮弹可以击中目标等价于存在
，使
成立，

即关于
的方程
有正根。

由
得
。

此时，
（不考虑另一根）。

∴当
不超过6千米时，炮弹可以击中目标。