2013—2014学年度上学期高三一轮复习

数学（文）单元验收试题（4）【新课标】

命题范围：解析几何

说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间120分钟。

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．如果命题“曲线
上的点的坐标都是方程
的解”是正确的，则下列命题中正确的是（ ）

A．曲线
是方程
的曲线；

B．方程
的每一组解对应的点都在曲线
上；

C．不满足方程
的点
不在曲线
上；

D．方程
是曲线
的方程.

2．过点
且与直线
平行的直线方程是（ ）

A．
　　 B．
　　C．
　 D．

3．设抛物线
上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（ ）

A．4 B．6 C．8 D．12

4．（2013年高考湖北卷（文））已知
,则双曲线
:
与
:
的（　　）

A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等

5．曲线
与直线
有公共点的充要条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．圆心在抛物线
上，且与该抛物线的准线和
轴都相切的圆的方程是（ ）

7．（2013年高考重庆卷（文））设
是圆
上的动点,
是直线
上的动点,则
的最小值为（　　）

A．6 B．
4 C．3 D．2

8．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线L过F且与C交于A, B两点.若|AF|=3|BF|,则L的方程为（　　）

A．y=x-1或y=-x+1 B．y=
(X-1)或y=-
(x-1)

C．y=
(x-1)或y=-
(x-1) D．y=
(x-1)或y=-
(x-1)

9．直线
与曲线
的公共点的个数是（　）

A．1　　　　　　　　　B.2　　　　　　　　　C.3　　　　　　　 D.4

10．已知x，y满足
，则
的最小值是（ ）

A．0 B．
C．
D．2

11．若
、
为双曲线
:
的左、右焦点，点
在双曲线
上，∠
=
，则
到
轴的距离为（ ）

A．
B．
C．
D．

12．（2013年高考辽宁卷（文））已知椭圆
的左焦点为F

两点,连接了
,若
,则
的离心率为（　　）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

13．点
是曲线
上的一个动点，且点
为线段
的中点，则动点
的轨迹方程为_____________。

14．（2013年高考湖南（文））设F1,F2是双曲线C,
(a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P.使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C的离心率为　　　　．

15．（201
3年高考四川卷（文））在平面直角坐标系内,到点
,
,
,
的距离之和最小的点的坐标是　　　　．

16．（2013年高考湖北卷（文））在平面直角坐标系中,若点
的坐标
,
均

为整数,则称点
为格点. 若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为
,其内部的格点数记为
,边界上的格点数记为
. 例如图中△
是格点三角形,对应的
,
,
.

(Ⅰ)图中格点四边形DEFG对应的
分别是　　　　；

(Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为
,其中a,b,c为常数. 若某格点多边形对应的
,
, 则
　　　　(用数值作答).

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共76分)。

17．（12分）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0）.求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线。

18．（12分）已知椭圆
：
（
）经过
与
两点，过原点的直线
与椭圆
交于
、
两点，椭圆
上一点
满足
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）求证：
为定值

19．（12分）已知圆
的方程为
,点
是坐标原点.直线
与圆
交于
两点.

(Ⅰ)求
的取值范围；

(Ⅱ)设
是线段
上的点，且
，请将
表示为
的函数.

20．（12分）
年
月
日
时
分
秒“嫦娥二号”探月卫星由长征三号丙运载火箭送入近地点高度约
公里、远地点高度约
万公里的直接奔月椭圆(地球球心
为一个焦点)轨道Ⅰ飞行.当卫星到达月球附近的特定位置时,实施近月制动及轨道调整,卫星变轨进入远月面
公里、近月面
公里(月球球心
为一个焦点)的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,之后卫星再次择机变轨进入以
为圆心、距月面
公里的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,并开展相关技术试验和科学探测.已知地球半径约为
公里,月球半径约为
公里.

Ⅰ、比较椭圆轨道Ⅰ与椭圆轨道Ⅱ的离心率的大小；

Ⅱ、以
为右焦点,求椭圆轨道Ⅱ的标准方程.

21．（12分）（2013年高考福建卷（文））如图,在抛物线
的焦点为
,准线
与
轴的交点为
.点
在抛物线
上,以
为圆心
为半径作圆,设圆
与准线
的交于不同的两点
.

(1)若点
的纵坐标为2,求
;

(2)若
,求圆
的半径.

22．（14分）（2013年高考湖北卷（文））如图,已知椭圆
与
的中心在坐标原点
,长轴均为
且在
轴上,短轴长分别为
,
,过原点且不与
轴重合的直线
与
,
的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.记
,△
和△
的面积分别为
和
.

(Ⅰ)当直线
与
轴重合时,若
,求
的值;

(Ⅱ)当
变化时,是否存在与坐标轴不重合
的直线l,使得
?并说明理由.



参考答案

一、选择题

1．C；2．D；3．B；4．D；5．C；6．B；7．B；8．C；9．C；10．B；11．B；12．B；

二、填空题

13．
；14．
；15．(2,4)；16．(Ⅰ)3, 1, 6 (Ⅱ)79。

三、解答题

17．解：设点P的坐标为（x，y），由题设有
，即
．

整理得 x2+y2－6x+1=0． ①

因为点N到PM的距离为1，|MＮ|＝2，

所以∠PMN＝30°，直线PM的斜率为±
，

直线PM的方程为y=±
（x＋1）．②

将②式代入①式整理得x2－4x＋1＝0．解得x＝2＋
，x＝2－
．

代入②式得点P的坐标为（2＋
，1＋
）或（2－
，－1＋
）；（2＋
，－1－
）或（2－
，1－
）．

直线PN的方程为y=x－1或y=－x+1．

18．解：（1）将
与
代入椭圆
的方程，得
，

解得
，
．

所以椭圆
的方程为
．

（2）由
，知
在线段
的垂直平分线上，

由椭圆的对称性知
、
关于原点对称．

①若点
、
在椭圆的短轴顶点上，则点
在椭圆的长轴顶点上，此时

．

同理，若点
、
在椭圆的长轴顶点上，则点
在椭圆的短轴顶点上，此时

．

②若点
、
、
不是椭圆的顶点，设直线
的方程为
（
），

则直线
的方程为
．设
，
，

由
，解得
，
，

所以
，同理可得
，

所以
．

综上，
为定值
．

19．解：(Ⅰ)将
代入
得 则

,(*)

由
得
.

所以
的取值范围是

(Ⅱ)因为M、N在直线l上,可设点M、N的坐标分别为
,
,则

,
,又
,

由
得,
,

所以

由(*)知
,
, 所以
,

因为点Q在直线l上,所以
,代入
可得
,

由
及
得
,即
.

依题意,点Q在圆C内,则
,所以
,

于是,
n与m的函数关系为
(
)

20．解析：(Ⅰ)设椭圆轨道Ⅰ的半焦距为
,半长轴的长为
,则
,解得
,
,∴
.

设椭圆轨道Ⅱ的半焦距为
,半长轴的长为
,则
,

解得
,
,∴
.故
.

(Ⅱ)依题意设椭圆轨道Ⅱ的标准方程为
,则由⑴知
,