2013—2014学年度上学期高三一轮复习

数学（理）单元验收试题（7）【新课标】

命题范围：三角

说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间120分钟。

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）既是偶函数又在区间
上单调递减的函数是( )

A．
B．
C．
D．

2．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）已知
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）将函数
的图象沿
轴向左平移
个单位后,得到一个偶函数的图象,则
的一个可能取值为( )

A．
B．
C．0 D．

4．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若
，则△ABC的形状为( )

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

5．函数f(x)=
的值域是（ ）。

A．[－
－1，1]∪[－1,
－1] B．[－
,
]

C．[－
－1,
－1] D．[－
,－1
∪(－1,

6．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（ ）

A．sin(α+β)>sinα+sinβ B．sin(α+β)>cosα+cosβ

C．cos(α+β)

7．如图，正方形
的边长为
，延长
至
，使
，连接
、
则
（ ）

A．
B．
C．
D．

8．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案）已知函数
,下列结论中错误的是（ ）

A．
的图像关于
中心对称 B．
的图像关于直线
对称

C．
的最大值为
D．
既奇函数,又是周期函数

9．在锐角中
,角
所对的边长分别为
.若
( )

A．
B．
C．
D．

10．（2013年山东数学（理）试题）函数
的图象大致为( )

11．（2013年高考四川卷（理））函数
的部分图象如图所示,则
的值分别是( )

A．
B．
C．
D．

12．已知
的最大值是
，且
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

13．设
为锐角，若
，则
的值为 ；

14．（2013年福建数学（理）试题）如图
中,已知点D在BC边上,AD
AC,
则
的长为 ；

15．设当
时,函数
取得最大值,则
_______。

16．（2013年高考上海卷（理））若
,则
。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共76分)。

17．（12分）（2013年高考北京卷（理））在△ABC中，a=3，b=2
，∠B=2∠A。

(I)求cosA的值；(II)求c的值。

18．（12分）（2013年高考陕西卷（理））已知向量
, 设函数
.

(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.

(Ⅱ) 求f (x) 在
上的最大值和最小值.

19．（12分）已知函数
,
.

(Ⅰ) 求
的值; (Ⅱ) 若
,
,求
.

20．（12分）为进行科学实验，观测小球A、B在两条相交成
角的直线型轨道上运动的情况，如图（乙）所示，运动开始前，A和B分别距O点3m和1m，后来它们同时以每分钟4m的速度各沿轨道
按箭头的方向运动。问：

（1）运动开始前，A、B的距离是多少米？（结果保留三位有效数字）。

（2）几分钟后，两个小球的距离最小？

21．（12分）（2013年江苏卷（数学））如图,游客从某旅游景区的景点
处下山至
处有两种路径.一种是从
沿直线步行到
,另一种是先从
沿索道乘缆车到
,然后从
沿直线步行到
.现有甲.乙两位游客从
处下山,甲沿
匀速步行,速度为
.在甲出发
后,乙从
乘缆车到
,在
处停留
后,再从匀速步行到
.假设缆车匀速直线运动的速度为
,山路
长为
,经测量,
,
.

(1)求索道
的长;

(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

(3)为使两位游客在
处互相等待的时间不超过
分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?

22．（14分）已知函数
的周期为
,图像的一个对称中心为
,将函数
图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移
个单位长度后得到函数
的图像.

(1)求函数
与
的解析式;

(2)是否存在
,使得
按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定
的个数;若不存在,说明理由

(3)求实数
与正整数
,使得
在
内恰有2013个零点.

参考答案

一、选择题

1．B；2．C；3．B；4．B；5．D；6．D；7．B；8．C；9．D；10．D；11．A；12．D；

二、填空题

13．
；14．
；15．
；16．
；

三、解答题

17．解：(I)因为a=3,b=2
,∠B=2∠A. 所以在△ABC中,由正弦定理得
.

所以
.故
.

(II)由(I)知
,所以
.

又因为∠B=2∠A,所以
.所以
.

在△ABC中,
.

所以
.

18．解:(Ⅰ)
=
.

最小正周期
.

所以
最小正周期为
.

(Ⅱ)
.

.

所以,f (x) 在
上的最大值和最小值分别为
.

19．解：(Ⅰ)
;

(Ⅱ)

因为
,
,所以
,

所以
,

所以


.

20．解：（1）小球开始运动前的距离为：

（2）设t分钟后，小球A、B分别运动到A’、B’处，则

当
时，

当
时，

故

当
，

故
分钟后两个小球的距离最小。

21．解：(1)∵
,

∴
∴
,

∴

根据
得

(2)设乙出发t分钟后,甲.乙距离为d,则

∴

∵
即

∴
时,即乙出发
分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.

(3)由正弦定理
得
(m)

乙从B出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C

设乙的步行速度为V
,则

∴
∴

∴为使两位游客在
处互相等待的时间不超过
分钟,乙步行的速度应控制在
范围内

法二:解:(1)如图作BD⊥CA于点D,

设BD=20k,则DC=25k,AD=48k,

AB=52k,由AC=63k=1260m,

知:AB=52k=1040m.

(2)设乙出发x分钟后到达点M,

此时甲到达N点,如图所示.

则:AM=130x,AN=50(x+2),

由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2 AM·ANcosA=7400 x2-14000 x+10000,

其中0≤x≤8,当x=(min)时,MN最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.

(3)由(1)知:BC=500m,甲到C用时:=(min).

若甲等乙3分钟,则乙到C用时:+3= (min),在BC上用时: (min) .

此时乙的速度最小,且为:500÷=m/min.

若乙等甲3分钟,则乙到C用时:-3= (min),在BC上用时: (min) .

此时乙的速度最大,且为:500÷=m/min.

故乙步行的速度应控制在[,]范围内.

22．解：(Ⅰ)由函数
的周期为
,
,得

又曲线
的一个对称中心为
,

故
,得
,所以

将函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的
倍(纵坐标不变)后可得
的图象,再将
的图象向右平移
个单位长度后得到函数

(Ⅱ)当
时,
,

所以

问题转化为方程
在
内是否有解

设
,

则

因为
,所以
,
在
内单调递增

又
,

且函数
的图象连续不断,故可知函数
在
内存在唯一零点
,

即存在唯一的
满足题意

(Ⅲ)依题意,
,令

当
,即
时,
,从而
不是方程
的解,所以方程
等价于关于
的方程
,

现研究
时方程解的情况

令
,

则问题转化为研究直线
与曲线
在
的交点情况

,令
,得
或

当
变化时,
和
变化情况如下表















































当
且
趋近于
时,
趋向于

当
且
趋近于
时,
趋向于

当
且
趋近于
时,
趋向于

当
且
趋近于
时,
趋向于

故当
时,直线
与曲线
在
内有无交点,在
内有
个交点;

当
时,直线
与曲线
在
内有
个交点,在
内无交点;

当
时,直线
与曲线
在
内有
个交点,在
内有
个交点

由函数
的周期性,可知当
时,直线
与曲线
在
内总有偶数个交点,从而不存在正整数
,使得直线
与曲线
在
内恰有
个交点;当
时,直线
与曲线
在
内有
个交点,由周期性,
,所以

综上,当
,
时,函数
在
内恰有
个零点