2013—2014学年度上学期高三一轮复习

数学（理）单元验收试题（3）【新课标】

命题范围：立体几何

说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间120分钟。

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l（ ）

A．平行 B．相交 C．垂直 D．互为异面直线

2．（2013年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知
为异面直线,
平面,
平面
.直线满足
,则（　　）

A．
,且
B．
,且

C．与
相交,且交线垂直于 D．与
相交,且交线平行于

4．（2013年高考江西卷（理））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且
,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为
,那么
( )

5．在正三棱锥
中,
分别是
的中点,有下列三个论断:①
;②
//平面
;③
平面
,其中正确论断的个数为（　　）

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

6．与正方体
的三条棱
、
、
所在直线的距离相等的点（ ）

A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．有且只有3个 D．有无数个

7．已知正四棱锥
中，
，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）

A．1 B．
C．2 D．3

8．已如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是（ ）

　A.D1O∥平面A1BC1 B. D1O⊥平面MAC

C.异面直线BC1与AC所成的角等于60°　

D.二面角M－AC－B等于90°

9．正四棱锥
的侧棱长为
，底面边长为
，为
中点，则异面直线
与
所成的角是（ ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

10．（2013年高考新课标1（理））如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( )

A．
B．
C．
D．

11．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知正四棱柱
中
,则
与平面
所成角的正弦值等于（　　）

A．
B．
C．
D．

12．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））在空间中,过点作平面的垂线,垂足为,记
.设
是两个不同的平面,对空间任意一点,
,恒有
,则（　　）

A．平面与平面
垂直 B．平面与平面
所成的(锐)二面角为

C．平面与平面
平行 D．平面与平面
所成的(锐)二面角为

第Ⅱ卷

二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

13．若圆椎的母线
,母线与旋转轴的夹角
，则该圆椎的侧面积为

14．三棱锥
中，、、
、
分别为
、
、
、
的中点，则截面
将三棱锥
分成两部分的体积之比为 .

15．三棱锥
及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱
的长为 .

16．（2013年高考上海卷（理））在
平面上,将两个半圆弧
和
、两条直线
和
围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记D绕y轴旋转一周而成的几何体为,过
作的水平截面,所得截面面积为
,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出的体积值为 。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共76分)。

17．（12分）如图，△
中，
，
，
，在三角形内挖去一个半圆（圆心
在边
上，半圆与
、
分别相切于点
、
，与
交于点
），将△
绕直线
旋转一周得到一个旋转体。

（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；

（2）求图中阴影部分绕直线
旋转一周所得旋转体的体积．

18．（12分）平面EFGH分别平行空间四边形ABCD中的CD与AB且交BD、AD、AC、BC于E、F、G、H.CD=a,AB=b,CD⊥AB.

(1)求证EFGH为矩形；

(2)点E在什么位置，SEFGH最大?

19．（12分）已知几何体A—BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

（1）求此几何体的体积V的大小;

（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；

（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQBQ并说明理由.

20．（12分）在长方体
中，
，
，为
中点.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）求
与平面
所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱
上是否存在一点，使得
∥平面
？若存在，求
的长；若不存在，说明理由.

21．（12分）（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））如图,在四面体
中,
平面
,
.
是
的中点, 是
的中点,点
在线段
上,且
.

(1)证明:
平面
;(2)若二面角
的大小为
,求
的大小.



22．（14分）（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））如图,在四棱柱
中,侧棱
,
,
,
,
,
,

.

(1)求证:

(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
,求
的值;

(3)现将与四棱柱
形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱,规定:若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案.问:共有几种不同的方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为
,写出
的表达式(直接写出答案,不必要说明理由)

参考答案

一、选择题

1．C；2．A；3．D；4．A；5．C；6．D；7．C；8．D；9．C；10．A；11．A；12．A；

二、填空题

13．
；14．1:1；15．
；16．
；

三、解答题

17．解：（1）连接
，则

，

设
，则
，又
，所以
，

所以，

（2）

又∵AB⊥CD
EF⊥FG
EFGH为矩形.

(2)AG=x,AC=m,

GH=
x

=
GF=
(m－x)

SEFGH=GH·GF=
x·
(m－x)

=
(mx－x2)=
(－x2+mx－
+

=
［－(x－
)2+
］

当x=
时，SEFGH最大=
·
=
.

19．解：（1）由该几何体的三视图知
面
,且EC=BC=AC=4 ，BD=1，

∴

∴
．

即该几何体的体积V为
．

（2）解法1:过点B作BF//ED交EC于F，连结AF，

则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．

在△BAF中，∵AB=
，BF=AF=
．

∴

．

即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为
．

解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．

则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）

∴
，

∴

∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为
．

（3）解法1:在DE上存在点Q，使得AQBQ.

取BC中点O，过点O作OQ⊥DE于点Q，

则点Q满足题设.

连结EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中

∵

∴
∽
∴

∵
∴
∴
．

∵
,

∴

∴以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．切点为Q ∴

∵
面
,
面
∴
∴
面

∵
面ACQ
．

解法2: 以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．

设满足题设的点Q存在,其坐标为（0，m，n），则

，

∵AQBQ ∴
----------------------------①

∵点Q在ED上，∴存在

使得

∴

-----------②

②代入①得
，解得

∴满足题设的点Q存在，其坐标为

20．（Ⅰ）证明：连接
∵
是长方体，∴
平面
，

又
平面
∴
，在长方形
中，
∴

又
∴
平面
， 而
平面
∴

（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系
，则

,

设平面
的法向量为
，则

令
，则

所以
与平面
所成角的正弦值为

（Ⅲ）假设在棱
上存在一点，使得
∥平面
.

设的坐标为
，则
因为
∥平面

所以
， 即
，
，解得
，

所以 在棱
上存在一点，使得
∥平面
,此时
的长
.

21．解：证明(Ⅰ)方法一:如图6,取
的中点,且
是
中点,所以
.因为是
中点,所以
;又因为(Ⅰ)
且
,所以
,所以面
面
,且
面
,所以
面
;

方法二:如图7所示,取
中点