2013—2014学年度上学期高三一轮复习

数学（理）单元验收试题（6）【新课标】

命题范围：平面向量

说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间120分钟。

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．下列命中，正确的是（　　）

A．|
|＝|
|

＝
　 B．|
|＞|
|

＞

C．
＝


∥
　　　　 D．｜
｜＝0

＝0

2．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）

已知点
（　　）

A．
B．
C．
D．

3．若非零向量
满足
、
|，则
的夹角为（ ）

A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500

4．若
、
、
为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是（ ）

A．（
+
）+
=
+（
+
） B．（
+
）·
=
·
+
·

C．m（
+
）=m
+m
D．（
·b）
=
（
·
）

5．已知向量
,若
,则
（　　）

A．
B．
C．
D．

6．（2013年高考湖北卷（理））

已知点
.
.
.
,则向量
在
方向上的投影为（　　）

A．
B．
C．
D．

7．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）设
是边
上一定点,满足
,且对于边
上任一点
,恒有
.则（　　）

A．
B．
C．
D．

8．如图所示的方格纸中有定点
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

9．设
是已知的平面向量且
,关于向量
的分解,有如下四个命题:

①给定向量
,总存在向量
,使
;

②给定向量
和
,总存在实数
和
,使
;

③给定单位向量
和正数
,总存在单位向量
和实数
,使
;

④给定正数
和
,总存在单位向量
和单位向量
,使
;

上述命题中的向量
,
和
在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

10．在平面直角坐标系中,
是坐标原点,两定点
满足
则点集
所表示的区域的面积是（　　）

A．
B．
C．
D．

11．（2013年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为
;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为
.若
分别为
的最小值、最大值,其中
,
,则
满足（　　）

A．
B．
C．
D．

12．设过点
的直线分别与
轴的正半轴和
轴的正半轴交于
两点，点
与点
关于
轴对称，
为坐标原点，若
且
，则点
的轨迹方程是 ( )

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

13．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知向量
,
.若
,则实数
.

14．已知
，
与
的夹角为锐角，则实数
的取值范围为

15．已知正方形
的边长为
,
为
的中点,则
．

16．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））设
为单位向量,非零向量
,若
的夹角为
,则
的最大值等于 ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共76分)。

17．（12分）已知向量
在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.

18．（12分）

在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。

（Ⅰ）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

（Ⅱ）设实数t满足(
)·
=0，求t的值。

19．（12分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点
和点
，
，且
，其中
为坐标原点.

（Ⅰ）若
，设点
为线段
上的动点，求
的最小值;

（Ⅱ）若
，向量
，
，求
的最小值及对应的
值.

20．（12分）已知
，
，
，其中
．

（Ⅰ）求
和
的边
上的高
；

（Ⅱ）若函数
的最大值是
，求常数
的值．

21．（14分）已知两定点

满足条件
的点P的轨迹是曲线E，直线ｙ＝kx－1与曲线E交于A、B两点。

（Ⅰ）求ｋ的取值范围；

（Ⅱ）如果
且曲线E上存在点C，使
求
。

22．（14分）如图,三定点A(2,1),B(0,－1),C(－2,1); 三动点D,E,M满足=t,  = t , =t , t∈[0,1]. (Ⅰ) 求动直线DE斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点M的轨迹方程.

参考答案

一、选择题

1． C；2．A；3．C；4．D；5．B；6．A；7．D；8． C；9．B；10． D；11．D；12．D；

二、填空题

13．
；14．
；15． 2；16．2；

三、解答题

17．解法1：依定义

开口向上的抛物线，故要使
在区间（－1，1）上恒成立

.

解法2：依定义

的图象是开口向下的抛物线，

18．解：（1）（方法一）由题设知
，则

所以
故所求的两条对角线的长分别为
、
。

（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:E为B、C的中点，E（0，1）

又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4） 故所求的两条对角线的长分别为BC=
、AD=
；

（2）由题设知：
=(－2,－1)，
。

由(
)·
=0，得：
，从而
所以
。

或者：
，

19．解：（Ⅰ） 设
（
），

又
，所以
，

所以

，

所以当
时，
最小值为
，

（Ⅱ）由题意得
,
，

则

，

因为
,所以
，

所以当
，即
时，
取得最大值
，

所以
时，
取得最小值
，

所以
的最小值为
，此时
。

20．解：（Ⅰ）
，

因为
，所以
，因为
，
是等腰三角形，所以

注：运用数形结合解三角形的办法求解
也可参（照给分。
，
，依题意，
，
，所以

，因为
，所以
，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，

因为
，
，所以

若
，则当
时，
取得最大值
，依题意
，解得

②若
，因为
，所以
，与
取得最大值
矛盾

③若
，因为
，

所以
，
的最大值
，与“函数
的最大值是
”矛盾

（或：若
，当
时，
取得最大值，最大值为

依题意
，与
矛盾,综上所述，
．

21．解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线
是以
为焦点的双曲线的左支，且
，易知

故曲线
的方程为

设
，由题意建立方程组

消去
，得

又已知直线与双曲线左支交于两点
，有

解得

∵

依题意得

整理后得

∴
或

但
∴

故直线
的方程为

设
，由已知
，得

∴
，

又
，

∴点

将点
的坐标代入曲线
的方程，得
得
，

但当
时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意

∴
，点
的坐标为

到
的距离为

∴
的面积

22．解法一: 如图,

(Ⅰ)设D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由=t,  = t , 知(xD－2,yD－1)=t(－2,－2).

∴ 同理  . ∴kDE =  =  = 1－2t.

∴t∈[0,1] , ∴kDE∈[－1,1].

(Ⅱ) ∵=t  ∴(x+2t－2,y+2t－1)=t(－2t+2t－2,2t－1+2t－1)=t