2013—2014学年度上学期高三一轮复习

数学（文）单元验收试题（3）【新课标】

命题范围：立体几何

说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间120分钟。

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l（ ）

A．平行 B．相交 C．垂直 D．互为异面直线

2．（2013年高考四川卷（文））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是（　　）

A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台

3．（2013年高考广东卷（文））设
为直线,
是两个不同的平面,下列命题中正确的是（　　）

A．若
,
,则
B．若
,
,则

C．若
,
,则
D．若
,
,则

4．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ）

A．75° B．60° C．45° D．30°

5．在正三棱锥
中,
分别是
的中点,有下列三个论断:①
;②
//平面
;③
平面
,其中正确论断的个数为（　　）

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

6．与正方体
的三条棱
、
、
所在直线的距离相等的点（ ）

A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．有且只有3个 D．有无数个

7．已知正四棱锥
中，
，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）

A．1 B．
C．2 D．3

8．已如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是（ ）

　A.D1O∥平面A1BC1 B. D1O⊥平面MAC

C.异面直线BC1与AC所成的角等于60°　

D.二面角M－AC－B等于90°

9．（2013年高考辽宁卷（文））已知三棱柱
的6个顶点都在球
的球面上,若
,
,
,则球
的半径为（　　）

A．
B．
C．
D．

10．在半径为的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（ ）

Ａ．
B．
C．
D．

11．已知
是球
表面上的点，
，
，
，
，则球
的表面积等于（ ）

A．4 B．3 C．2 D．

12．（2013年高考北京卷（文））如图,在正方体
中,为对角线
的三等分点,则到各顶点的距离的不同取值有（ ）



A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

第Ⅱ卷

二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

13．若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是 ．

14．（2013年高考湖北卷（文））我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸,则平地降雨量是 寸.

(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)

15．三棱锥
及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱
的长为 .

16．（2013年高考安徽（文））如图,正方体
的棱长为1,为
的中点,
为线段
上的动点,过点
的平面截该正方体所得的截面记为
,则下列命题正确的是

(写出所有正确命题的编号).

①当
时,
为四边形;②当
时,
为等腰梯形;③当
时,
与
的交点满足
;④当
时,
为六边形;⑤当
时,
的面积为
.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共76分)。

17．（12分）如图，△
中，
，
，
，在三角形内挖去一个半圆（圆心
在边
上，半圆与
、
分别相切于点
、
，与
交于点
），将△
绕直线
旋转一周得到一个旋转体。

（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；

（2）求图中阴影部分绕直线
旋转一周所得旋转体的体积．

18．（12分）平面EFGH分别平行空间四边形ABCD中的CD与AB且交BD、AD、AC、BC于E、F、G、H.CD=a,AB=b,CD⊥AB.

(1)求证EFGH为矩形；

(2)点E在什么位置，SEFGH最大?

19．（12分）如图，
为空间四点．在
中，
．等边三角形
以
为轴运动．

（Ⅰ）当平面
平面
时，求
；（Ⅱ）当
转动时，是否总有
？证明你的结论．

[

20．（12分）在直三棱柱
中,
,
分别是棱
上的点(点不同于点),且
为
的中点.求证:(1)平面
平面
；(2)直线
平面
.

21．（12分）如图，
是圆
的直径，
是圆
上除、外的一点，
在平面
的投影恰好是
．已知
，
，
．

⑴证明：平面
平面
；

⑵当三棱锥
体积最大时，求三棱锥
的高．

22．（14分）（2013年高考湖北卷（文））如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为
.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为
,
,且
. 过
,
的中点
,且与直线
平行的平面截多面体
所得的截面
为该多面体的一个中截面,其面积记为
.

(Ⅰ)证明:中截面
是梯形;

(Ⅱ)在△ABC中,记
,BC边上的高为,面积为. 在估测三角形
区域内正下方的矿藏储量(即多面体
的体积)时,可用近似公式
来估算. 已知
,试判断
与V的大小关系,并加以证明.

参考答案

一、选择题

1．C；2．D；3．B；4．C；5．C；6．D；7．C；8．D；9．C；10．B；11．A；12．B；

二、填空题

13．
；14．3；15．
；16．①②③⑤；

三、解答题

17．解：（1）连接
，则

，

设
，则
，又
，所以
，

所以，

（2）

又∵AB⊥CD
EF⊥FG
EFGH为矩形.

(2)AG=x,AC=m,

GH=
x

=
GF=
(m－x)

SEFGH=GH·GF=
x·
(m－x)

=
(mx－x2)=
(－x2+mx－
+

=
［－(x－
)2+
］

当x=
时，SEFGH最大=
·
=
.

19．解：（Ⅰ）取
的中点，连结
，

因为
是等边三角形，所以
．

当平面
平面
时，

因为平面
平面

，

所以
平面
，

可知

由已知可得
，

在
中，
．

（Ⅱ）当
以
为轴转动时，总有
．

证明：（ⅰ）当在平面
内时，因为
，

所以
都在线段
的垂直平分线上，即
．

（ⅱ）当不在平面
内时，由（Ⅰ）知
．

又因
，所以
．

又
为相交直线，所以
平面
，由
平面
，得
．

综上所述，总有
。

20．解析：（1）∵
是直三棱柱,∴
平面
,

又∵
平面
,∴
,

又∵
平面
,∴
平面
,

又∵
平面
,∴平面
平面

（2）∵
,为
的中点,∴
,

又∵
平面
,且
平面
,∴
,

又∵
平面
,
,∴
平面
,

由(1)知,
平面
,∴
∥
,

又∵
平面
平面
,∴直线
平面
.

21．证明与求解：⑴因为
是直径，所以
，

因为
是
的投影，所以
平面
，
，

因为
，所以
平面

因为
平面
，
平面
，所以
，

又因为
，所以
是平行四边形，
，
平面
，

因为
平面
，所以平面
平面
.

⑵依题意，
，

由⑴知

，

……9分，
，等号当且仅当
时成立，

此时，
，
……12分，设三棱锥
的高为
，则
……13分，
．

22．证明：(Ⅰ)依题意
平面
,
平面
,
平面
,

所以A1A2∥B1B2∥C1C2. 又
,
,
,且
.

因此四边形
、
均是梯形.

由
∥平面
,
平面
,且平面

平面
,

可得AA2∥ME,即A1A2∥DE. 同理可证A1A2∥FG,所以DE∥FG.

又
、分别为
、
的中点,

则、、、分别为
、
、
、
的中点,

即
、
分别为梯形
、
的中位线.

因此
,
,

而
,故
,所以中截面
是梯形.

(Ⅱ)
. 证明如下:

由
平面
,
平面
,可得
.

而EM∥A1A2,所以
,同理可得
.

由
是△
的中位线,可得
即为梯形
的高,

因此
,

即
.

又
,所以
.

于是
.

由
,得
,
,故
.