2013—2014学年度上学期高三一轮复习

数学（理）单元验收试题（2）【新课标】

命题范围：函数

说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间120分钟。

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．（2013年高考江西卷（理））函数y=
ln(1-x)的定义域为（ ）

A．(0,1) B．[0,1) C．(0,1] D．[0,1]

2．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．设
是定义在实数集上的函数,满足条件
是偶函数,且当
时,
,则
,
,
的大小关系是（　　）

A．
B．

C．
D．

4．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若
,则函数
的两个零点分别位于区间( )

A．
和
内 B．
和
内

C．
和
内 D．
和
内

5．函数
的值域为（ ）

A．R B．
C．
D．

6．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））已知
为正实数,则( )

A．
B．

C．
D．

7．下列函数
中，满足“对任意的
时，都有
”的是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．（2013年高考新课标1（理））

已知函数

,若|
|≥
,则的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．函数
的大致图象是（ ）

10．若曲线
在点
处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则
（ ）

A．64 B．32 C．16 D．8

11．已知函数
则下列结论正确的（　　）

A．
在
上恰有一个零点　　 　　B.
在
上恰有两个零点

C．
在
上恰有一个零点 D．
在
上恰有两个零点

12．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））

已知函数
设
表示
中的较大值,
表示
中的较小值,记
得最小值为

得最小值为,则
（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

13．若
是上的奇函数，则函数
的图象必过定点 。

14．设函数
是奇函数，则a= 。

15．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））已知
是定义在上的奇函数.当
时,
,则不等式
的解集用区间表示为 .

16．2013年高考湖南卷（理））设函数

(1)记集合
,则
所对应的
的零点的取值集合为 .

(2)若
______.(写出所有正确结论的序号)

①

②

③若

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共76分)。

17．（12分）已知函数
.

（1）求函数
的定义域，并判断
的奇偶性；

（2）用定义证明函数
在上是增函数；

（3）如果当
时，函数
的值域是
，求与的值.

18．（12分）已知函数
，其中常数a > 0．

(1) 当a = 4时，证明函数f(x)在
上是减函数；

(2) 求函数f(x)的最小值．

19．（12分）（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设函数
,其中
,区间

(Ⅰ)求的长度(注:区间
的长度定义为
);

(Ⅱ)给定常数
,当时,求长度的最小值.

20．（12分）设函数
定义域为
，且
.

设点是函数图像上的任意一点，过点分别作直线
和轴的垂线，垂足分别为
．

（1）写出
的单调递减区间（不必证明）；

（2）问：
是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；

（3）设为坐标原点，求四边形
面积的最小值.

21．（12分）定义在R上的单调函数
满足
且对任意
都有
．

(1)求证
为奇函数；

(2)若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围．

22．（14分）（Ⅰ）已知函数
,若存在
，使得
,则称
是函数
的一个不动点，设二次函数
.

(Ⅰ) 当
时，求函数
的不动点；

(Ⅱ) 若对于任意实数，函数
恒有两个不同的不动点，求实数的取值范围；

(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，若函数
的图象上
两点的横坐标是函数
的不动点，且直线
是线段
的垂直平分线，求实数的取值范围.

参考答案

一、选择题

1．D；2．D；3．A；4．A；5．C；6．D；7．C；8．D；9．B；10．A；11．C；12．B；

二、填空题

13．
；14． 0；15．
；16．(1)
,(2)①②③；

三、解答题

17．解：（1）令
，解得
,

对任意

所以函数
是奇函数.

另证：对任意

，所以函数
是奇函数.

（2）设
，

∴

∴

∴
∵
∴

∴
，∴

所以函数
在上是增函数.

（3）由（2）知，函数
在
上是增函数，

又因为
时，
的值域是
，

所以
且
在
的值域是
，

故
且
（结合
图像易得
）

解得
（
舍去）

所以
，

18．解：(1) 当
时，
，

任取0

因为00，即f(x1)>f(x2)

所以函数f(x)在
上是减函数；

(2)

，当且仅当
时等号成立，

当
，即
时，
的最小值为
，

当
，即
时，
在
上单调递减，

所以当
时，
取得最小值为
，

综上所述：

19．解：解: (Ⅰ)
.所以区间长度为
.

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,

.

所以
.

20．解：（1）、因为函数
的图象过点
，所以
函数
在
上是减函数.

（2）、设
，直线
的斜率
，则
的方程
。

联立
，
、

，

（2）、（文）设
，直线
的斜率为
，则
的方程
，

联立
，
，

3、
，
，

∴
，

，
，

∴
，
，

当且仅当
时，等号成立，∴ 此时四边形
面积有最小值
。

21．解：(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y) (x，y∈R)， ①

令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．

令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，

则有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，

所以f(x)是奇函数．

(2)解：
＞0，即f(3)＞f(0)，又
在R上是单调函数，

所以
在R上是增函数

又由(1)f(x)是奇函数．f(k·3
)＜-f(3
-9
-2)=f(-3
+9
+2)，

∴ k·3
＜-3
+9
+2，3
-(1+k)·3
+2＞0对任意x∈R成立．

令t=3
＞0，问题等价于t
-(1+k)t+2＞0

对任意t＞0恒成立．

R恒成立．

22．(Ⅰ) 当
时，
，解
，得
。

所以函数
的不动点为
。

（Ⅱ）因为 对于任意实数，函数
恒有两个不同的不动点，所以，对于任意实数，方程
恒有两个不相等的实数根，即方程
恒有两个不相等的实数根， 所以
，即 对于任意实数，
，所以
，解得

（Ⅲ）设函数
的两个不同的不动点为
，则

且
是
的两个不等实根， 所以

直线
的斜率为1，线段
中点坐标为

因为 直线
是线段
的垂直平分线，

所以
，且
在直线
上

则

所以
当且仅当
时等号成立

又
所以 实数的取值范围
.