2013—2014学年度上学期高三一轮复习

数学（文）单元验收试题（2）【新课标】

命题范围：函数

说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间120分钟。

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．（2013年高考重庆卷（文））函数
的定义域为（　　）

A．
B．
C．
D．

2．（2013年湖北（文））x为实数,
表示不超过的最大整数,则函数
在上为（　　）

A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数

3．（2013年高考山东卷（文））已知函数
为奇函数,且当
时,
,则
（　　）

A．2 B．1 C．0 D．-2

4．函数
的零点所在的区间是（ ）

A．
B．
C．（1，2） D．（2，3）

5．函数
的值域为（ ）

A．R B．
C．
D．

6．（2013年高考辽宁卷（文））已知函数
（　　）

A．
B．
C． D．

7．下列函数
中，满足“对任意的
时，都有
”的是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知函数
则
( )

A．
B． C．
D．

9．（2013年高考福建卷（文））函数
的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

10．若曲线
在点
处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则
（ ）

A．64 B．32 C．16 D．8

11．已知函数
则下列结论正确的（　　）

A．
在
上恰有一个零点　　 　　B.
在
上恰有两个零点

C．
在
上恰有一个零点 D．
在
上恰有两个零点

12．（2013年高考辽宁卷（文））已知函数
设
表示
中的较大值,
表示
中的较小值,记
得最小值为

得最小值为,则
（　　）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

13．若
是上的奇函数，则函数
的图象必过定点 。

14．设函数
，对任意
恒成立，则实数m的取值范围是 。

15．（2013年高考安徽（文））定义在上的函数
满足
.若当
时.
,则当
时,
= .

16．给出定义：若
(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作
，即
. 在此基础上给出下列关于函数
的四个命题：

①
的定义域是，值域是
；②点
是
的图像的对称中心，其中
；③函数
的最小正周期为；④ 函数
在
上是增函数．

则上述命题中真命题的序号是 ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共76分)。

17．（12分）已知函数
.

（1）求函数
的定义域，并判断
的奇偶性；

（2）用定义证明函数
在上是增函数；

（3）如果当
时，函数
的值域是
，求与的值.

18．（12分）（2013年高考安徽（文））设函数
,其中
,区间
.

(Ⅰ)求的长度(注:区间
的长度定义为
；

(Ⅱ)给定常数
,当
时,求长度的最小值．

19．（12分）已知函数

(1)当
时,求
的最大值和最小值;

(2)求实数的取值范围,使
在区间
上是单调函数;

(3)在(1)的条件下,设
,若函数
在区间
上有且仅有一个零点,求实数的取值范围.

20．（12分）设函数
定义域为
，且
.设点是函数图像上的任意一点，过点分别作直线
和轴的垂线，垂足分别为
．

（1）写出
的单调递减区间（不必证明）；

（2）设点的横坐标
，求
点的坐标（用
的代数式表示）；

（3）设为坐标原点，求四边形
面积的最小值.

21．（12分）定义在R上的单调函数
满足
且对任意
都有
．

(1)求证
为奇函数；

(2)若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围．

22．（14分）（2013年高考江西卷（文））设函数
，a 为 常数且a∈(0,1).

(1) 当a=
时,求f(f(

));

(2) 若x0满足f(f(x0))= x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的二阶周期点,证明函数
有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;

(3) 对于(2)中x1,x2,设A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a2,0),记△ABC的面积为s(a),求s(a)在区间[
，
]上的最大值和最小值。

参考答案

一、选择题

1．C；2．D；3．D；4．A；5．C；6．D；7．C；8．B；9．A；10．A；11．C；12．C；

二、填空题

13．
；14．
；15．
；16．①③；

三、解答题

17．解：（1）令
，解得
,

对任意

所以函数
是奇函数.

另证：对任意

，所以函数
是奇函数.

（2）设
，

∴

∴

∴
∵
∴

∴
，∴

所以函数
在上是增函数.

（3）由（2）知，函数
在
上是增函数，

又因为
时，
的值域是
，

所以
且
在
的值域是
，

故
且
（结合
图像易得
）

解得
（
舍去）

所以
，

18．解：:(1)令

解得



的长度

(2)
则
由 (1)

,则
故关于在
上单调递增,在
上单调递减.

19．解：(1)
，
。

↙
↗ ，
。

。

(2)
，

当
,即
时,
↗ ；

当
,即
时,
↙ ；

∴的范围为
。

(3)

。

上有且只有一个零点 ，
，
。

。

20．解：（1）、因为函数
的图象过点
，所以
函数
在
上是减函数.

（2）、（理）设
，直线
的斜率
，则
的方程
。

联立
，
、

，

（2）、（文）设
，直线
的斜率为
，则
的方程
。

联立
，
；

3、
、
；

∴
，

，

∴
，
，

当且仅当
时，等号成立.

∴
此时四边形
面积有最小值
.

21．解：(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y) (x，y∈R)， ①

令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．

令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，

则有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，

所以f(x)是奇函数．

(2)解：
＞0，即f(3)＞f(0)，又
在R上是单调函数，

所以
在R上是增函数

又由(1)f(x)是奇函数．f(k·3
)＜-f(3
-9
-2)=f(-3
+9
+2)，

∴ k·3
＜-3
+9
+2，3
-(1+k)·3
+2＞0对任意x∈R成立．

令t=3
＞0，问题等价于t
-(1+k)t+2＞0

对任意t＞0恒成立．

R恒成立．

22．解:(1)当
时,

(

当
时,由
解得x=0,由于f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点;

当
时由
解得

因

故
是f(
x)的二阶周期点;

当
时,由
解得

因
故
不是f(x)的二阶周期点;

当
时,
解得

因

故
是f(x)的二阶周期点.

因此,函数
有且仅有两个二阶周期点,
,
.

(3)由(2)得

则

因为a在[

,

]内,故
,则

故