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高2013届第二次模拟考试

数学（文）试题

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．

（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合
，则a=

A．1 B．-1 C．±1 D．0

【答案】C

因为
，所以
。

2．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，其中可以输出的函数是 ．

A．

B．

C．

D．

【答案】D

可以输出的函数应具有的性质为：是奇函数且有零点。A是偶函数，排除；B不存在零点，排除；C不是奇函数，是非奇非偶函数，排除；D即是奇函数又有零点，因此选D。

3．命题“若
”的逆否命题是

A．若
或
，

B．若a=b
，

C．若
或
，

D．若a
b
，

【答案】A

命题“若
”的逆否命题是“若
或
，
”。

4．已知
是定义在R上的偶函数，且对2为周期，则“
上的增函数”是“
上的减函数”的

A．既不充分也不必要的条件 B．充分而不必要的条件

C．必要而不充分的条件 D．充要条件

【答案】D

因为
是定义在R上的偶函数，且对2为周期，，所以由“
上的增函数”可以得到“
上的间函数”，所以可以得到“
上的减函数”，反之也正确，因为“
上的增函数”是“
上的减函数”的充要条件。

5．设等差数列
的前n项和为Sn，若
,则当Sn取最小值时．n等于

A．6 B．7 C．8 一 D．9

【答案】A

因为
，所以
，
，所以当Sn取最小值时．n等于6，因此选A。

6． 如果实数x、y满足条件
那么z=4x·2-y的最大值为

A．1 B．2 C．
D．

【答案】B

画出约束条件
的可行域，由可行域知：过点
时，
有最大值1，所以
的最大值为
。

7．已知函数
上的减函数，则a的取值范围是

A．
B．
C．（2，3） D．

【答案】A

因为函数
上的减函数，所以
，因此选A。

8．已知双曲线
的右焦点与抛物线
的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于

A．
B．
C．3 D．5

【答案】B

因为双曲线
的右焦点与抛物线
的焦点重合，所以
，又双曲线的焦点到其渐近线的距离等于短半轴长b，所以双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
，因此选B。

9．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2．∠ASC=∠BSC=45°则棱锥S—ABC的体积为

A．
B．
C．
D．

【答案】C

由题意求出SA=AC=SB=BC=
，∠SAC=∠SBC=90°，所以平面ABO与SC垂直，
，所以棱锥S-ABC的体积为：
．故选C．

10．已知函数y=x3-3x+c的图像与x恰有两个公共点．则c=

A．一2或2 B．一9或3 C．一1或1 D．一3或1

【答案】A

因为函数y=x3-3x+c，所以
，由
，所以函数y=x3-3x+c在
，所以要使函数y=x3-3x+c的图像与x恰有两个公共点，需
。

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题：

（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案值填在答题卡的相应位置）

11．已知函数
的最小正周期是 ．

【答案】

，所以函数
的最小正周期为
。

12．若曲线
与直线y=b没有公共点，则b的取值范围是 ．

【答案】

因为
，所以
，因为
，所以
，所以若曲线
与直线y=b没有公共点，则b的取值范围是
。

13．椭圆
为定值，且
）的的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B。△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是 。

【答案】

设椭圆的右焦点E．如图：

由椭圆的定义得：△FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+（2a-AE）+（2a-BE）=4a+AB-AE-BE；

∵AE+BE≥AB，∴AB-AE-BE≤0，当AB过点E时取等号，

∴△FAB的周长：AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤4a；∴△FAB的周长的最大值时4a=12?a=3，

∴
，故答案：
．

14．已知函数y=f（x+1）是R上的偶函数，且
时
恒成立，又
的解集是 .

【答案】

因为
时
恒成立，所以函数
在
上单调递减，又因为函数y=f（x+1）是R上的偶函数，所以函数
的图像关于直线
对称，所以函数
在
上单调递增，因为
，所以，当
时，
；当
时，
。所以由
得：
，解得：
，所以
的解集是
。

15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题评分）

A．（不等式选做题）若不等式
对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范圉是 ．

【答案】

令
，要使不等式
对任意的实数x恒成立，只需
，又函数
的几何意义为数轴上的到点-1和点3的距离和，所以
，所以只需
，所以实数a的取值范圉是
。

B．（几何证明选做题）如图所示．A，B是两圆的交点。AC是小圆的直径

D，E分别是CA，CB的延长线与大圆的交点·

已知AC=4，BE=10，且BC=AD，则AB= ．

【答案】

因为
，AC=4，BE=10，且BC=AD，所以
，解得
，在Rt?ABC中，
。

C．（极坐标与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，已知曲线
：
(t为参数)与曲线
：
(
为参数，
) 有一个公共点在X轴上，则
.

【答案】

曲线
：
直角坐标方程为
，与
轴交点为
；

曲线
：
直角坐标方程为
，其与
轴交点为
，

由
，曲线
与曲线
有一个公共点在X轴上，知
.

三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）

已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且
。

（1）若
，求边c的大小；

（2）若a=2c，求△ABC的面积．

17．（本小题满分12分）已知数列{
}的前n项和为Sn，常数
>0,且
a1an=S1+Sn对一切正整数n都成立.

（1）求数列{
}的通项公式；

（2）设
当为何值时，数列{lg
}的前n项和最大?

18．（本小题满分12分）如图，在四面体ABOC中，

OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=20°，且OA=OB=OC=1．

（1）设P为AC的中点．证明：在AB上存在一点Q，使

PQ⊥OA，并计算
的值．

（2）求四面体PAOB的体积．

19．（本小题满分12分）已知关于x的一元二次方程

（1）若a,b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；

（2）若
，求方程没有实根的概率。

20．（本小题满分13分）已知点P（一1，
）是椭圆E：
上一点F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设A，B是椭圆E上两个动点，满足：
求直线AB的斜率。

21．（本小题满分14分）已知函数

（1）讨论
的单调性：

（2）设a>0，证明：当0