西安市第一中学

2012-2013学年度第一学期期中

高三年级数学（文科）试题

命题人：张莲生 审题人：

一．选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1．设集合
，
则
（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】C

因为
=
，
，所以

。

2．若
，则“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

若
，则
；若
，则
，所以“
”是“
”的充分不必要条件。

3．设
为等差数列
的前
项和，公差
，若
，则
( )

A．
B．
C．
D．

【答案】B

因为
，所以
，即
，又
，所以

。

4．设复数
满足
，其中
为虚数单位，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】B

因为
，所以
。

5．函数
在点（1,2）处的切线方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】A

因为
，所以
，所以切线方程为
，即
。

6．在下列区间中，函数
的零点所在的区间为（ ）

A．
　　 　B．
　　　C．
　　　　D．

【答案】C

因为
的图像是连续不断地，又
，
，所以函数
的零点所在的区间为
。

7．如果函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，则
的值是（ ）

A．
B．3 C．2 　D．

【答案】D

因为函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，所以
是x正半轴上的第一个最大值点，所以函数的周期为
，所以
。

8．若函数
是
上的单调递减函数，则实数
的取值范围为（ ）

A．
B．

C．
D．

【答案】B

因为函数
是
上的单调递减函数，所以
，解得
，因此选B。

9． 一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为( )

A．
　 B．1 　 C．
　　 D．

【答案】D

由三视图知，原几何体为四棱锥，底面为直角梯形，两底分别为1和2，高为1，四棱锥的高为1，所以该几何体的体积为
。

10．在圆
内，过点
的最长弦和最短弦分别为
和
，则四边形
的面积为（ ）

A．
　 B．
　 C．
　　 D．

【答案】B

圆
的圆心坐标为
，最长弦AC是直径，AC=
，弦心距为
，最短弦BD =
，因为
和
相互垂直，所以四边形
的面积为
。

二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．已知
，若
与
共线，

则
．

【答案】1

=
，因为
与
共线，所以
。

设变量
、
满足约束条件
则目标

函数
的最大值为_______．

【答案】4

画出线性约束条件
的可行域，易知当过点
时，目标函数
取最大值，最大值为4.

13．某程序图如图所示，该程序运行后输出的结果是 ．

【答案】5

第一次循环：
，满足条件
，再次循环；

第二次循环：
，满足条件
，再次循环；

第三次循环：
，满足条件
，再次循环；

第四次循环：
，不满足条件
，结束循环，此时输出k的值为5.

14．若
，且
，则
______ __．

【答案】

因为
，因为
，所以

。

15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

．（几何证明选讲选做题）如图，点
是圆
上的点， 且
，则圆
的面积等于 ．

【答案】

设圆
的半径为R，则由正弦定理得：
，所以半径为
，所以圆
的面积等于
。

.（不等式选讲选做题）若存在实数
满足
,则实数
的取值范围为_________．

【答案】

设
，有几何意义知
的最小值为
， 又因为存在实数x满足
＜5，只要5大于f（x）的最小值即可．

即
＜5，解得：m∈（-2，8），所以a的取值范围是
．故答案为：
．

．(极坐标与参数方程选讲选做题)设曲线
的参数方程为
（
为参数），直线
的方程为
，则曲线
上到直线
距离为
的点的个数有_________个．

【答案】2

化曲线
的参数方程为普通方程：
，圆心
到直线
的距离
，直线和圆相交，过圆心和
平行的直线和圆的2个交点符合要求，又
，在直线
的另外一侧没有圆上的点符合要求，因此共有两个点满足题意。

三．解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题12分）已知
，
，函数

（1）求函数
的周期；

（2）函数
的图像可由函数
的图像经过怎样的变换得到？

17．（本小题12分）如图，在四棱锥
中，
，
，底面
是菱形，且
，
为
的中点．

（1）求四棱锥
的体积；

（2）侧棱
上是否存在点
，使得
∥平面
？并证明你的结论．

18．（本小题12分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：

（1）求全班人数及分数在
之间的频数，并计算频率分布直方图中
间的矩形的高；

（2）若要从分数在
之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在
之
间的概率．

19．（本小题12分）已知椭圆
的离心率为
，右焦点为
；斜率为1的直线
与椭圆
交于
、
，以
为底边作等腰三角形，顶点为
.

(1)求椭圆
的方程.

(2)求
的面积.

20.（本小题13分）已知
为实数，函数
．

（1）若
，求
的值及曲线
在
处的切线方程；

（2）求
在区间