石家庄市第一中学2013届高三数学（理）补充试题

一、选择题：

1.若复数
（
为虚数单位)
是z的共轭复数 ， 则
+
2的虚部为（A）

A . 0 B.-1 C . 1 D. -2

2.下列命题中，真命题是（D ）

A．
B．

C．
的充要条件是
D．
是
的充分条件

3.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（D ）

A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱

4． 把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（A）

5.如图，正方形
的边长为
，延长
至
，使
，连接
、
则
（ B ）

A.
B.

C.
D.

6.将圆x2+y2 -2x-4y+1=0平分的直线是（C ）

A.x+y-1=0 B .x+y+3=0 C.x-y+1=0 D.x-y+3=0

7.在平面直角坐标系中，
，将向量
按逆时针旋转
后，得向量

, 则点
的坐标是（ A ）

A.
B.
C.
D.

8.已知F1、F2为双曲线C：
的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=(C )

A.
B.
C.
D.

9.样本（
）的平均数为
，样本（
）的平均数为
，若样本（
，
）的平均数
，其中
，则n,m的大小关系为( A )

A．
B．
C．
D．不能确定

10．设a＞0，b＞0,下列选项正确的是（A）

A．若
，则a＞b B．若
，则a＜b

C．若
，则a＞b D．若
，则a＜b

11. 右图是用模拟方法估计圆周率
的程序框图，
表示估计结果，则图中空白框内应填

入（ D ）

A．
B．

C．
D．

12．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝
．将
ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列选项正确是（B）

A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直

B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直

C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D．对任意位置，三直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直

]

二、填空题：

13.设数列{an},{bn}都是等差数列，若
，
，则
____35______.

14.右图是抛物线形拱桥，当水面在
时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽(单位:米)
.

15.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗
原料1千克、
原料2千克；生产乙产品1桶需耗
原料2千克，
原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元;公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗
、
原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是__2800元_______

16.对于实数
，定义运算“
”：
，设
，且关于
的方程为
恰有三个互不相等的实数根
，则
的取值范围是__
___.

三、解答题：

17.设函数
.

（I）求函数
的最小正周期；

（II）设函数
对任意
，有
，且当
时，
；

求函数
在
上的解析式.

解：（I）

,

函数
的最小正周期
.

（II）当
时，
,

当
时，

,

当
时，

,

得：函数
在
上的解析式为
.

18.某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是
类型试题，则使用后

该试题回库，并增补一道
类试题和一道
类型试题入库，此次调题工作结束；若调用

的是
类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有
道

试题，其中有
道
类型试题和
道
类型试题，以
表示两次调题工作完成后，试

题库中
类试题的数量。

（Ⅰ）求
的概率；

（Ⅱ）设
，求
的分布列和均值（数学期望）.

解：（I）
表示两次调题均为
类型试题，概率为

（Ⅱ）
时，每次调用的是
类型试题的概率为
，

随机变量
可取

，
，





















19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.

（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；

（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.

解：（Ⅰ）连接AC，由AB=4，，

Ｅ是ＣＤ的中点，所以

所以

而
内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.

（Ⅱ）过点Ｂ作

由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是
为直线ＰＢ与平面PAE

所成的角，且
.

由
知，
为直线
与平面
所成的角.

由题意，知

因为
所以

由
所以四边形
是平行四边形，故
于是

在
中，
所以

　

于是

又梯形
的面积为
所以四棱锥
的体积为

　　　　　　　　　

法2：如图（2），以A为坐标原点，
所在直线分别为
建立空间直角坐标系.设
则相关的各点坐标为：

（Ⅰ）易知
因为

所以
而
是平面
内的两条相交直线，所以

(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，
分别是
，
的法向量，而PB与

所成的角和PB与
所成的角相等，所以

由（Ⅰ）知，
由
故

解得
.

又梯形ABCD的面积为
，所以四棱锥
的体积为

.

???
分别是椭圆
的左，右焦点，过点
作
轴的垂线交椭圆的上半部分于点
，过点
作直线
的垂线交直线
于点
；

（I）若点
的坐标为
；求椭圆
的方程；

（II）证明：直线
与椭圆
只有一个交点.

解：（I）点
代入
得：

①,

又
② ,

③

由①②③得：
既椭圆
的方程为
.

（II）设
；则

得：

过点
与椭圆
相切的直线斜率
.

得：直线
与椭圆
只有一个交点。

21.已知函数
=
，其中a≠0.

（Ⅰ）若对一切x∈R，
≥1恒成立，求a的取值集合.

（II）在函数
的图像上取定两点
，

，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使
成立？若存在，求
的取值范围；若不存在，请说明理由.

解：（Ⅰ）若
，则对一切
，

，这与题设矛盾，又
，

故
.

而
令

当
时，
单调递减；当
时，
单调递增，故当
时，
取最小值

于是对一切
恒成立，当且仅当

　　　　　
.　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

令
则

当
时，
单调递增；当
时，
单调递减.

故当
时，
取最大值
.因此，当且仅当
即
时，①式成立.

综上所述，
的取值集合为
.

（Ⅱ）由题意知，

令
则

令
，则
.

当
时，
单调递减；当
时，
单调递增.

故当
，
即

从而
，
又

所以

因为函数
在区间
上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在
使

单调递增，故这样的
是唯一的，且
.故当且仅当
时，
.

综上所述，存在
使
成立.且
的取值范围为

.

选做题：

22. 选修4-1：几何证明选讲

如图，圆O和圆
相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于
两点，连结
并延长交圆O于点
.

证明：（I）
；

（II）

证明：（I）由
与圆O相切于
，得
，同理
，

所以
相似于
,从而
，即

（II）由
与圆O相切于
，得
，又
，得
相似于

从而
，即
，综合（I）的结论，

23. 选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，圆
，圆
.

（I）在以
为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆
的极坐标方程，并求出圆
的交点坐标（用极坐标表示）;

（II）求圆
与圆
的公共弦的参数方程.

解：（I）圆
的极坐标方程为
，圆
的极坐标方程为
，

解
得
，故圆
与圆
交点的坐标为

（II）由
，得圆
与圆
交点的直角坐标为

故圆
与圆
的公共弦的参数方程为

24. 选修4-5：不等式选讲

已知
，不等式
的解集为

（I）求
的值;

（II）若
恒成立，求
的取值范围.

解：（I）由
得
，又
的解集为
，所以

当
时，不合题意

当
时，
，得
.

（II）记
，则
，

所以
，因此
.