2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中适应性训练

高三数学（文科）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合
，则
的真子集个数为（ ）

A． 3 B． 6 C． 7 D．8

【答案】C

，
，画出图像，与图像知：它们共有3个交点，所以
的真子集个数为
。

2．若两个非零向量
满足
，则向量
与
的夹角为（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】C

因为
，所以以OA、OB为邻边做的平行四边形为矩形，所以
，
，所以向量
与
的夹角为
。

3．下面四个条件中，使
成立的充分不必要条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】A

A．若
，则
一定成立；但若
，不一定
，因此“
”是 “
”的一个充分不必要条件；

B．若
，则
不一定成立，不是充分条件；

C．若
，则
不一定成立，不是充分条件；

D．若
，则
一定成立；若
，则
也一定成立，因此“
”是 “
”的一个充要条件。

4．若
则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】D

因为
，所以
，
，
。

5. 奇函数
在
上的解析式是
，则在
上，
的函数解析式是（ ）

A．
B．

C．
D．

【答案】B

设
，所以
，又
是奇函数，所以
，所以在
上，
的函数解析式是
。

6.按下面的流程（图1），可打印出一个数列，设这个数列为
，则
（ ）

A ．
B ．
C ．
D．

【答案】C

输出的数依次为
，所以

。

7．设函数
则
（ ）

A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数

【答案】A

根据基本不等式，我们易知：当x<0时，
，所以
有最大值；又根据对勾函数的性质，我们知道：
在
，所以C、D错误。因此选A.

8．若双曲线
的离心率为2，则
等于（ ）

A． 1 B．
C．
D． 2

【答案】B

因为双曲线
的离心率为2，所以
，所以
的值为
。

9．已知两个等差数列
和
的前n项和分别为
和
，且
，则使得
为整数的正整数n的个数是（ ）

A． 2　　 　B． 3　　 　C． 4　　 　D． 5

【答案】D

因为
，因为
，所以要使
为整数，需
，共5个。

10．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站的概率为
,则他在3天乘车中,此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为( )

A．
B．
C．
D．

【答案】C

此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为
。

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．

11. 已知
是周期为2的奇函数，当
时，
，设
则
从小到大的顺序为 .

【答案】

，
，因为
，
，所以

12. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为m的正方形, PD⊥底面ABCD,且PD= m ,PA=PC=
m ,若在这个四棱锥内放一个球,则此球的最大半径是 .

【答案】

设内切圆的圆心为O，半径为R，连接OA、OB、OC、OD、OP，易知
，即
，解得
，所以此球的最大半径是
。

13. 已知直线
与
平行，则
的值是 。

【答案】3或5

因为直线
与
平行，当
，两条直线的斜率都不存在，显然成立；当直线的斜率存在即
时，要满足两直线平行，需
，解得
。综上知
的值是3或5。

14. 已知实数
满足
，如果目标函数
的最小值为-1，则实数
.

【答案】5

画出约束条件的可行域，易知当目标函数过点D时，z有最小值，由
，又因为目标函数
的最小值为-1，所以
.

15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）

A．（不等式选做题）不等式
的解集是 ；

【答案】

当
时，原不等式可化为
，所以
；当
时，原不等式可化为
，所以
。综上知：不等式
的解集是
。

B．(几何证明选做题) 如图，过点
作圆
的割线
与切线
，
为切点，连接
，
的平分线与
分别交于点
，若
，则
；

【答案】

如图，PE 是圆的切线，∴∠PEB=∠PAC，又∵AE是∠APE的平分线，∴∠EPC=∠APC，根据三角形的外角与内角关系有：∠EDC=∠PEB+∠EPC；∠ECD=∠PAC+∠APC，∴∠EDC=∠ECD，∴△EDC为等腰三角形，又∠AEB=30°，∴∠EDC=∠ECD=75°即∠PCE=75°，故答案为75．

C.(极坐标系与参数方程选做题) 若
分别是曲线
和
上的动点，则
两点间的距离的最小值是 ；

【答案】

把曲线
化为直角坐标方程为
，把
化为直角坐标方程为
，圆心（1,0）到直线
的距离为：
，所以
两点间的距离的最小值是
。

三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．(本小题满分12分)

已知向量
，
，函数
。

（1）求
的单调递增区间；

（2）若不等式
都成立，求实数m的最大值.

17．(本小题满分12分)．

设关于
的一元二次方程

(1)若
是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率。

(2)若
是从区间
任取的一个数，b是从区间
任的一个数，求上述方程有实根的概率。

18．（本小题满分12分）.

在等差数列
中，
，前
项和为
，等比数列
各项均为正数，
，且
，
的公比

（1）求数列
通项
；

（2）记
，试比较
与
的大小。

19．（本小题满分12分）

如下的三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的正视图和侧视图在右面画出（单位：cm）

（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；

（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；

（3）在所给直观图中连结
，证明：
面
．



20．（本小题满分13分）

设函数
曲线y=f(x)通过点（0，2a+3），且在点（－1，f（－1））处的切线垂直于y轴.

（Ⅰ）用a分别表示b和c；

（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g(x)=
的单调区间.

21．（本小题满分14分）

给定椭圆
，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆Ｃ的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到Ｆ的距离为
．

（Ⅰ）求椭圆Ｃ的方程和其“准圆”方程；

（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线
，使得
与椭圆C都只有一个交点，且
分别交其“准圆”于点M，N ．

（1）当P为“准圆”与
轴正半轴的交点时，求
的方程；

（2）求证：|MN|为定值．

2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中适应性训练

高三数学（文科）参考答案

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. C 2． C 3． A 4．D 5. B 6. C 7．A 8．B 9． D 10． C

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．

11.
12.
13. 3或5 14. 5

15.A．
B．
C.

三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．(本小题满分12分〉

（Ⅰ）

由
，

得

所以
的单调增区间是

（Ⅱ）因为

所以

所以
所以
，m的最大值为0.

17．(本小题满分12分)．

(1)p=
；(2)p=

18．（本小题满分12分）.

（I）由已知可得
， 解得，
或
（舍去），

。

（Ⅱ）

。 ∵

故
时，
；
时，
；

时，

19．（本小题满分12分）

（1）如图



（2）所求多面体体积

．

（3）证明：在长方体
中，

连结
，则
．

因为
分别为