山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测

数学试题（文科） 2012-9

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.1

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.1

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数
( )

A.
B.
C.
D.

【答案】B

【解析】
，选B.

2. 设
是直线，a，β是两个不同的平面

A. 若
∥a，
∥β，则a∥β B. 若
∥a，
⊥β，则a⊥β

C. 若a⊥β，
⊥a，则
⊥β D. 若a⊥β,
∥a，则
⊥β

【答案】B

【解析】根据线面垂直的判定和性质定理可知，选项B正确。

3．下列有关命题的说法正确的是( )

A．命题“若
，则
”的否命题为：“若
，则
”．

B．若
为真命题，则
、
均为真命题； ．

C．命题“存在
，使得
”的否定是：“对任意
，

均有
”．

D．命题“若
，则
”的逆否命题为真命题．

【答案】D

【解析】若
，则
”的否命题为：“若
，则
,所以A不正确。若
为真命题，则
至少有有一个为真，所以B不正确。“存在
，使得
”的否定是：“对任意
，均有
”，所以C不正确．若
，则
，正确，所以选D.

4.等差数列
的前n项和为
，若
，则
等于（ ）

52
54
56
58

【答案】在等差数列中
，
，

所以
。选A.

【解析】

5．直线
被圆
所截得的弦长为 ( )

A．
B．1 C．
D．

【答案】D

【解析】圆心到直线的距离为
，则弦长为
，选D.

6.某几何体的三视图如下图所示，它的体积为( )

A.
B.
C.
D.

【答案】C

【解析】由三视图可知该组合体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体，球的半径为3，圆锥的底面半径为3，高为4，那么根据体积公式可得组合体的体积为
，选C.

7．执行如上图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m的取值范围是( )

A．(42，56] B．(56，72] C．(72，90] D．(42，90)

【答案】B

【解析】第一次循环：
，第二次循环：
，第三次循环：
，
第七次循环：
第八次循环：
，此时
,不满足跳出循环，此时
，则判断框内
的取值范围是(56，72]，选B.

8．函数
的最大值与最小值之和为( )

(A)
　　　(B)0　　　(C)－1　　　(D)

【答案】A

【解析】当
时，
，
，即
，所以当
时，函数有最小值
，当
时，函数有最大值
，所以最大值和最小值之和为
，选A.

9.下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为( )

A y=cos2x，x
R B. y=log2|x|，x
R且x≠0

C. y=
，x
R D.
，x
R

【答案】B

【解析】A,B为偶函数，C为奇函数，D为非奇非偶函数，排除C,D.当
时，
单调递增，选B.

10．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线
的离心率是 （ ）

A．
B．
C．
或
D．

【答案】C

【解析】因为
是2和8的等比中项，所以
，所以
，当
时，圆锥曲线为椭圆
，离心率为
，当
时，圆锥曲线为双曲线
，离心率为
，所以综上选C.

11.在
（ ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C． 等腰三角形或直角三角形 D． 等腰直角三角形

【答案】C

【解析】根据正弦定理可知
，即
，所以
或
，即
或
，即
，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，选C.

12．函数
的图像大致是( )

A． B． C． 　D．

【答案】A

【解析】函数的定义域为
，当
时，
，当
时，
，当
时，
，综上可知选A.

第Ⅱ卷 ( 共90分)

注意事项: 1. 第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题.

2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在 “数学”答题卡指定的位置.

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.

13.抛物线
的准线为

【答案】

【解析】在抛物线中
，所以准线方程为
。

14．若
，则
的最小值为

【答案】4

【解析】
，当且仅当
，即
，即
时取等号，所以最小值为4.

15.已知集合

【答案】

【解析】
,
，所以

16.若函数
在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数
在
上是增函数，则a＝＿＿＿.

【答案】

【解析】
在
上是增函数，则
，所以
。若
，则函数
单调递增，此时有
，
，此时不成立，所以
不成立。若
，则函数
单调递减，此时有
，
，此时成立，所以
.

三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分12分）

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知
.

求
的值；

若cosB=
，
,求
的面积.

18. （本小题满分12分）

某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.

19 (本小题满分12分)

如图，几何体
是四棱锥，△
为正三角形，
.

(1)求证：
；

(2)若∠
，M为线段AE的中点，

求证：
∥平面
.

20．（本小题满分12分）

已知
为等差数列，且

（1）求数列
的通项公式；

（2）
的前
项和为
，若
成等比数列，求正整数
的值。

21.（本小题满分13分）

已知椭圆C：
．

（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为
，求椭圆的标准方程；

（2）在（1）的条件下，设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，

且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围；

22.（本小题满分13分）

已知函数

．

（1）讨论函数
在定义域内的极值点的个数；

（2）若函数
在
处取得极值，对

,
恒成立，

求实数
的取值范围.

兖州市高三数学试题（文科）参考答案及评分标准2012.9

一、选择题:(1) B (2) B (3) D (4) A (5) D (6) C

(7)B (8) A (9) B (10)C (11) C (12) A

二、填空题:

(13)
(14) 4 (15) R (16)
　

三、解答题：

17.解: （Ⅰ）由正弦定理得


所以…………2分

=
,即
,即有
,即
,所以
=2. …………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知:
=2,即c=2a,又因为
,所以由余弦定理得：

，即
,解得
,所以c=2,又因为cosB=
，所以sinB=
，故
的面积为

=
. …………12分

18.解:(1) 第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20, 第5组的人数为0.1×100=10. …………3分

因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:
×6=3; 第4组:
×6=2; 第5组:
×6=1.

所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分

(2)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.

则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:

(A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),

(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种. …………8分

其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:

(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3,B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1),共有9种, …………10分

所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为
…………12分

(19) （本小题满分12分）

(I)设
中点为O，连接OC，OE，则由
知，
，…………2分

又已知
，所以
平面OCE. …………４分

所以
，即OE是BD的垂直平分线，

所以
.…………６分

(II)取AB中点N，连接
，

∵M是AE的中点，∴
∥
，…………８分

∵△
是等边三角形，∴
.

由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即
，

所以ND∥BC，…………1０分

所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC. …………12分

20．（本小题满分12分）

解：

（1）设数列
的公差为d,由题意知
解得
…………3分

所以
…………5分

（2）由（Ⅰ）可得
…………8分

因
成等比数列，所以

从而
，即
…………10分

解得
或
（舍去），

因此