石家庄市第一中学2013届高三

数学（文）补充试题

一、选择题：

1.复数
满足
，则
= (B)

A .
B .
C.
D.

2.命题“存在实数
，使
> 1”的否定是(C )

A.对任意实数
, 都有
>1 B.不存在实数
，使

1

C.对任意实数
, 都有

1 D.存在实数
，使

1

3.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（D ）

A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱

4．把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是(A)

5.将圆x2+y2 -2x-4y+1=0平分的直线是(C)

A.x+y-1=0 B. x+y+3=0 C.x-y+1=0 D.x-y+3=0

6.
=(C )

A.
B.
C.
D.

7.下列命题正确的是（ C ）

A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

8.在平面直角坐标系中，
，将向量
按逆时针旋转
后，得向量
, 则点
的坐标是（ A ）

A.
B.
C.
D.

9.已知F1、F2为双曲线C：
的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则

cos∠F1PF2=( C)

A.
B.
C.
D.

10.样本（
）的平均数为
，样本（
）的平均数为
，若样本（
，
）的平均数
，其中
，则n,m的大小关系为( A )

A．
B．
C．
D．不能确定

11．设a＞0，b＞0,下列选项正确的是（A）

A．若
，则a＞b B．若
，则a＜b

C．若
，则a＞b D．若
，则a＜b

12. 右图是用模拟方法估计圆周率
的程序框图，
表示估计结果，则图中空白框内应填

入（ D ）

A．
B．

C．
D．

二、填空题

13.公比为2的等比数列{
} 的各项都是正数，且

=16，则
=1

14.右图是抛物线形拱桥，当水面在
时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽（单位：米）
.

15.若曲线
上存在点
满足约束条件
，则实数
的最大值为1.

16.对于实数
，定义运算“
”：
，设
，且关于
的方程为
恰有三个互不相等的实数根
，则
的取值范围是
.

三、解答题：

17.已知
为等差数列，且

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）记
的前
项和为
，若
成等比数列，求正整数
的值.

解：（Ⅰ）设数列
的公差为d,由题意知
,

解得
,

所以
.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
,

因
成等比数列，所以
,

从而
，即

解得
或
（舍去），因此
.

18．近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

“厨余垃圾”箱

“可回收物”箱

“其他垃圾”箱



厨余垃圾

400

100

100



可回收物

30

240

30



其他垃圾

20

20

60



（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；

（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率；

（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为
其中a＞0，
=600.当数据
的方差
最大时，写出
的值（结论不要求证明），并求此时
的值.

（注：
，其中
为数据
的平均数）

解：（Ⅰ）由题意可知：
?

（Ⅱ）由题意可知：
?

（Ⅲ）由题意可知：
，

因此当
，
，
时，
．

???如图，几何体
是四棱锥，△
为正三角形，
.

(Ⅰ)求证：
；

(Ⅱ)若∠
，M为线段AE的中点，求证：
∥平面
.

解：(I)设
中点为O，连接OC，OE，则由
知 ，
，

又已知
，所以
平面OCE.

所以
，即OE是BD的垂直平分线，

所以
.

(II)取AB中点N，连接
，

∵M是AE的中点，∴
∥
，

∵△
是等边三角形，∴
.

由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即
，

所以ND∥BC，

所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC.

20. 在平面直角坐标系
中，已知椭圆
：
（
）的左焦点为
，且点
在
上.

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ)设直线
同时与椭圆
和抛物线
：
相切，求直线
的方程.

解：(Ⅰ)因为椭圆
的左焦点为
，所以
，

点
代入椭圆
，得
，即
，

所以
，

所以椭圆
的方程为
.

(Ⅱ)直线
的斜率显然存在，设直线
的方程为
，

，消去
并整理得
，

因为直线
与椭圆
相切，所以
，

整理得
①

，消去
并整理得
，

因为直线
与抛物线
相切，所以
，

整理得
②

综合①②，解得
或
.

所以直线
的方程为
或
.

21.已知函数
为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线
在点
处的切线与x轴平行.

(Ⅰ)求k的值；

(Ⅱ)求
的单调区间；

(Ⅲ)设
，其中
为
的导函数.证明：对任意
.

解：(I)
，

由已知，
，∴
.

(II)由(I)知，
.

设
，则
，即
在
上是减函数，

由
知，当
时
，从而
，

当
时
，从而
.

综上可知，
的单调递增区间是
，单调递减区间是
.

(III)由(II)可知，当
时，
≤0＜1+
，故只需证明
在
时成立.

当
时，
＞1，且
，∴
.

设
，
，则
，

当
时，
，当
时，
，

所以当
时，
取得最大值
.

所以
.

综上，对任意
，
.

选做题：

22. 选修4-1：几何证明选讲

如图，圆O和圆
相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于
两点，连结
并延长交圆O于点
.

证明：（I）
；

（II）

证明：（I）由
与圆O相切于
，得
，同理
，

所以
相似于
,从而
，即

（II）由
与圆O相切于
，得
，又
，得
相似于

从而
，即
，综合（I）的结论，

23. 选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，圆
，圆
.

（I）在以
为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆
的极坐标方程，并求出圆
的交点坐标（用极坐标表示）;

（II）求圆
与圆
的公共弦的参数方程.

解：（I）圆
的极坐标方程为
，圆
的极坐标方程为
，

解
得
，故圆
与圆
交点的坐标为

（II）由
，得圆
与圆
交点的直角坐标为

故圆
与圆
的公共弦的参数方程为

24. 选修4-5：不等式选讲

已知
，不等式
的解集为

（I）求
的值;

（II）若
恒成立，求
的取值范围.

解：（I）由
得
，又
的解集为
，所以

当
时，不合题意

当
时，
，得
.

（II）记
，则
，

所以
，因此
.