石家庄市第一中学2011届高三数学（理）补充试题

1.已知集合 P = {x∈N | 1≤x≤10}，集合Q = {x∈R | x2+x－6=0}，则P∩Q等于( A )

A． {2} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}

2. (1－i)2·i=( D ）

A．2－2i B．2+2i C．－2 D．2

3.不等式组
的解集为 （ C ）

A．
B．
C．
D．

4. 双曲线
的两条渐近线与直线
围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（ A ）

A．
B.
C.
D.

5.若
，则( C )

A．
B .
C .
D.

6.若函数f (x)=
, 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( A )

A.单调递减无最小值 B. 单调递减有最小值 C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值

7.如果
的展开式中各项系数之和为128，则展开式中
的系数是（ C ）

（A）7 （B）
（C）21 （D）

8.设
，函数
，则使
的
的取值范围是（ C ）

A.
B.
C.
D.

9.设椭圆的两个焦点分别为
，过
作椭圆长轴的垂线交椭圆于点
，若
为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ D ）

A.
B .
C .
D .

10.函数
在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是（ D ）

A.
B.
C.
D.

11.若动点
在曲线
上变化，则
的最大值为（ A ）

A．
B．
C．
D．

12. 设
,
,
,点
是线段
上的一个动点,
,若
,则实数
的取值范围是（ B ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：

13.已知
，
，则
－2 .

14．由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，

∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 x2+y2=4 .

15．
的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
，则实数m = 1

16.已知在
中，
，
是
上的点，则点
到
的距离乘积的最大值是 3 .

三、解答题：

17.如图，函数y=2sin(πx＋φ),x∈R,(其中0≤φ≤
)的图象与y轴交于点（0，1）.

(Ⅰ)求φ的值；

(Ⅱ)设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求

解：（Ⅰ）因为函数图象过点（0，1）

所以
,即
?,因为
所以
.

(Ⅱ）由函数
及其图象，得
所以
从而

,故
.

18．某运动员射击一次所得环数
的分布如下：



7

8

9

10





0











现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为
.

(I)求该运动员两次都命中7环的概率;

(II)求
的分布列;

(III) 求
的数学期望
.

解：(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为
；

(Ⅱ)

的可能取值为7、8、9、10.

;
;

;

.

分布列为

7

8

9

10



P

0.04

0.21

0.39

0.36



(Ⅲ)
的数学希望为
.

19. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO=
,PB⊥PD.

(Ⅰ)求异面直接PD与BC所成角的余弦值；

(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小；

(Ⅲ)设点M在棱PC上，且
为何值时，PC⊥平面BMD.

解法一：

平面
，

又
，

由平面几何知识得：
.

（Ⅰ）过
做
交于
于
，连结
，则
或其补角为异面直线
与
所成的角，

四边形
是等腰梯形，

又

四边形
是平行四边形。

是
的中点，且

又
，

为直角三角形，

在
中，由余弦定理得

故异面直线PD与
所成的角的余弦值为

（Ⅱ）连结
，由（Ⅰ）及三垂线定理知，
为二面角
的平面角

，
,
二面角
的大小为

（Ⅲ）连结
，

平面
平面
，
,又在
中，

，
，

故
时，
平面
.

解法二：

平面
,
,又
，
，

由平面几何知识得：

.

以
为原点，
分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为
，
，
，
，
，

（Ⅰ）
，

，
.

.

故直线
与
所成的角的余弦值为
.

（Ⅱ）设平面
的一个法向量为
，

由于
，
，

由
得

取
，又已知平面ABCD的一个法向量
，

又二面角
为锐角，

所求二面角
的大小为

（Ⅲ）设
，由于
三点共线，
，

平面
，
,

由（1）（2）知：

，
,
,

故
时，
平面
.

20.在等差数列
中，
，前
项和
满足条件

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）记
，求数列
的前
项和
。

解：（Ⅰ）设等差数列
的公差为
,由
得：
，所以
，即
，又
＝
，所以
.

（Ⅱ）由
，得
。所以
，

当
时，
；

当
时，

，

，

即
.

21.设双曲线C：
相交于两个不同的点A、B.

（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：

（II）设直线l与y轴的交点为P，且
求a的值.

解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组

有两个不同的实数解.消去y并整理得

（1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ①

双曲线的离心率

（II）设

由于x1+x2都是方程①的根，且1－a2≠0，

22.已知函数
，

(Ⅰ）求
的单调区间和值域；

（Ⅱ）设
，函数
，若对于任意
，总存在
，使得
成立，求
的取值范围.

解：对函数
求导，得

令
解得
或

当
变化时，
、
的变化情况如下表：

x

0

















0





















所以，当
时，
是减函数；当
时，
是增函数； 当
时，
的值域为
.

（Ⅱ）对函数
求导，得