长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高2013届第一次模拟考试

数学（文）试题

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合M={x|一3

A．{
1} B．

C．{-3，-2，-1，0,1） D．{-2，一1，0）

【答案】D

因为集合M={x|一3

2．已知直线a和平面
，那么a//
的一个充分条件是

A．存在一条直线b，a//b且b

B．存在一条直线b，a
b且b

C．存在一个平面
，a

∥且
//

D．存在一个平面
，
//
且
//

【答案】C

A．存在一条直线b，a//b且b

，错误，a可能在平面α内；

B．存在一条直线b，a
b且b

，错误，a可能在平面α内；

C．存在一个平面
，a

，且
//
，正确，此为面面垂直的性质定理；

D．存在一个平面
，
//
且
//
，错误。

3．如果数列
…是首项为1，公比为
的等比数列，则a5等于

A．32 B．64 C．—32 D．—64

【答案】A

因为数列
…是首项为1，公比为
的等比数列，所以
，以上几式相乘得：
。

4．设实数x，y满足
则点（x,y）在圆面
内部的概率为

A．
B．
C．
D．

【答案】B

约束条件
的可行域是边长为
的正方形，所以正方形的面积为2.圆
正好在正方形的内部，且其面积为
，所以其概率为
。

5．过抛物线
的焦点作直线交抛物线于
两点，若
，则抛物线方程是

A．
B．
C．
D．

【答案】A

由抛物线的定义知：
，所以抛物线的方程是
。因此选A。

6．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是

A．
B．

C．
D．

【答案】B

由三视图知：该几何体为三棱柱，三棱柱的底面为直角三角形，两直角边分别为1和
，斜边长为
，三棱柱的
，所以该几何体的表面积是
，因此选B。

7．给出15个数：1，2，4，7，1 l，…，要计算这15个数的和，现给出解决该问题的程序框图（如右图所示），那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入

A．
B．

C．
D．

【答案】D

由程序框图知：s为累加变量，i为计数变量，因此①处应填
。这15个数的规律为：从第二个数开始，后一个数和前一个数分别相差1,2,3,4,5，……，因此②处应
。

8．已知函数
的部分图象如图所示，则f（0）=

A．
B．—1

C．
D．—

【答案】B

易知A=2，所以
代入得：
，所以
。

9．台风中，C,A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区。城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为

A．0．5小时 B．I小时 C．1．5小时 D．2小时

【答案】B

如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则B（40，0），台风中心移动的轨迹为射线y=x（x≥0），而点B到射线y=x的距离
，

故
，故B城市处于危险区内的时间为1小时，故选B．

10．以下有四种说法：

①若p或q为真，p且q为假，则p与q必为一真一假；

②若数列
的前n项和为Sn=n2+n+l，n∈N*，则
∈N*

③若实数t满足
，则称t是函数f（x）的一个次不动点．设函数f（x）=Inx与函数g（x）=ex（其中e为自然对数的底数）的所有次不动点之和为m，则m=0

④若定义在R上的函数f（x）满足
，则6为函数f（x）的周期

以上四种说法，其中说法正确的是

A．①③ B．③④ C．①②③ D．①③④

【答案】D

①若p或q为真，p且q为假，则p与q必为一真一假，正确；

②若数列
，错误。
；

③若实数t满足
的一个次不动点，设函数
与函数
为自然对数的底数）的所有次不动点之和为m，则m=0，正确。由函数的性质知：方程
和方程
的两个互为相反数，所以此命题正确；

④若定义在R上的函数
则6是函数
的周期，正确。因为
，所以
，所以周期为6.

第Ⅱ卷 （共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．

11．设F1、F2是双曲线
的两焦点，点P在双曲线上．若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离等于 。

【答案】1或17

由双曲线的定义知：
，即点P到焦点F2的距离等于1或17。

12．已知向量
的最小值为 。

【答案】6

因为
，
。所以
的最小值为6。

13．若函数
在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是 。

【答案】

因为函数
在（0，1）内有极小值，所以
在（0，1）内有根，且是
的两根中较大的那个，所以
，解得实数b的取值范围是
。

14．对于大于或等于2的正整数m的n次方幂有如下分解方式：

根据上述分解规律．若m3（m∈N*）的分解中最小的数是91，则m的值为 。

【答案】10

13=1（1个连续奇数的和），23=3+5（2个连续奇数的和），33=7+9+11 （3个

连续奇数的和），43=13+15+17+19 （4个连续奇数的和），……，

所以，(m-1)3等于m-1个连续奇数的和，因为，m3（m∈N*）的分解中最小的数是91，所

以，(m-1)3的分解中最大的数是89。每个分解中，最大的数＋1＝2×左边所有的底数的和（从

1开始～该分解为止）所以，2×[1＋2＋……(m-1)]＝89＋1即，m(m-1)=90化简得，

(m-10)(m+9)=0因为，m>0解得，m=10.

15．（考生注意：请在卡列三题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题评分）

A．（不等式选讲）已知函数
．若关于x的不等式
的解集是R，则m的取值范围是

【答案】

由
，得
，因为
的解集是R，所以只需
，又因为
，所以只需
，解得
。

B．（坐标系与参数方程）己知圆C的极坐标方程为
则圆心C的一个极坐标为 。

【答案】

把极坐标方程为
转化为直角坐标方程为：
，所以圆心为
，所以圆心C的一个极坐标为
。

C．（几何证明选讲）如图，半径为2的⊙D中，∠AOB=90°，

D为OB的中点，AD的延长线交⊙D于点E，则线段DE的

长为 。

【答案】

连接OE，AB，因为半径为2，∠AOB=90°，所以
，所以
，所以
，在?EOD中，由余弦定理得：

，所以DE=
。

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）已知平面上三点A（2，0），B（0，2），C（cos
，sin
）

（I）若（
）2=7（O为坐标原点），求向量
与
夹角
的大小；

（Ⅱ）若
，求sin2
的值．

17．（本大题满分12分）

如图，在正方体ABCD一A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点。

（I）求证：平面CFB1⊥平面EFB1；

（Ⅱ）若求三棱锥B1一EFC的体积为l，求此正方体的棱长．

18．（本小题满分12分）

数列
（n∈N*）是递增的等比数列，且
数列{
}满足

（I）求数列
的通项公式：

（Ⅱ）若
的最大值·

19．（本小题满分12分）

西安市某省级示范高中为了了解学校食堂的服务质量情况，对在校就餐的1400名学生按5%比例进行问卷调查，把学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为五个等级：1级（很不满意）；2级（不满意）；3级（一般）；4级（满意）；5级（很满意），其统计结果如下表所示（服务满意度为x，价格满意度为y）。

（I）作出“价格满意度”的频率分布直方图；

（II）为改进食堂服务质量，现从x<3且y<3的五人中抽取两人征求意见，求至少有一人的“服务满意度”为1的概率·

20．（本题满分13分）

已知

（I）如果函数，（x）的单调递减区间为
，求函数f（x）的解析式；

（II）（Ⅱ）在（1）的条件下，求函数y=f（x）的图像过点P（1，1）的切线方程；

（III）对一切的
恒成立，求实数a的取值范围。

21．（本小题满分14分）设椭圆D：
的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足
且AB⊥AF2．

（I）求椭圆D的离心率：

（II）若过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l：
相切，求圆C方程及椭圆D的方程；

（III）若过点T（3，0）的直线与椭圆D相交于两点M、N，设P为椭圆上一点，且满足

（O为坐标原点），求实数t取值范围．