石家庄市第一中学2011届高三数学（文）补充试题

1.已知集合 P = {x∈N | 1≤x≤10}，集合Q = {x∈R | x2+x－6=0}，则P∩Q等于( A )

A． {2} B．{1， 2} C．{2，3} D．{1，2，3}

2.已知
为第三象限的角，则
所在的象限是( D )

A .第一或第二象限 B .第二或第三象限 C.第一或第三象限 D 第二或第四象限

3．函数
的反函数是（ A ）

A．
B.
C.
D．

4.已知两条直线
和
互相垂直，则
等于( D )

A.2　　　　 B.1　　　　 C.0　　　　 D.

5.下列大小关系正确的是（ C ）

A.
B.

C.
D.

6.如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且
均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（ A ）

A．
B.
C．
D.

7.若动点
在曲线
上变化，则
的最大值为（ A ）

A．
B．
C．
D．

8.若函数f (x)=
,则该函数在(-∞,+∞)上是 ( A )

A.单调递减无最小值 B. 单调递减有最小值 C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值

9.设椭圆的两个焦点分别为
，过
作椭圆长轴的垂线交椭圆于点
，若
为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ D ）

A.
B .
C.
D .

10.函数
在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是（ D ）

A.
B.
C.
D.

11．在R上定义运算
若不等式
对任意实数
成立， 则（C ）

A．
B．
C．
D．

12.已知x和y是正整数，且满足约束条件
则z＝2x＋3y的最小值是（ B ）

A.24 B.14 C.13 D.11.5

二、填空题：

13. cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为

14．在△ABC中，∠A=90°，
的值是
.

15．由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，

∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 x2+y2=4 .

16.如图，正四面体ABCD的棱长为1，平面
过棱AB，且CD∥α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积是
.

三、解答题：

17.若S
是公差不为0的等差数列
的前n项和，且
成等比数列.

(Ⅰ)求数列
的公比;

(Ⅱ)若
，求
的通项公式.

解：（Ⅰ）设数列
的公差为
,由题意，得
? ，

所以
，因为
，所以
,故公比
,

（Ⅱ）因为

所以
,因此

18.
中，内角
的对边分别是
，已知
成等比数列，

且
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）设
，求
的值.

解：（Ⅰ）由
得

由
及正弦定理得

于是

（Ⅱ）由
得
，由
可得
，即

由余弦定理
得

∴

19．某运动员射击一次所得环数
的分布如下：



7

8

9

10





0











现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为
.

(I)求该运动员两次都命中7环的概率;

(II)求
的分布列;

(III) 求
的数学期望
.

解：(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为
；

(Ⅱ)

的可能取值为7、8、9、10.

分布列为

7

8

9

10



P

0.04

0.21

0.39

0.36



(Ⅲ)
的数学希望为
.

20. 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（I）求证：
平面BCD；

（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；

（III）求点E到平面ACD的距离。

方法一：

（I）证明：连结OC

在
中，由已知可得

而

即

平面

（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知

直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角

在
中，

是直角
斜边AC上的中线，

异面直线AB与CD所成角的大小为

（III）解：设点E到平面ACD的距离为

在
中，

而

点E到平面ACD的距离为

方法二：

（I）同方法一.

（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

异面直线AB与CD所成角

的大小为

（III）解：设平面ACD的法向量为
则

令
得
是平面ACD的一个法向量。

又

点E到平面ACD的距离

21．若函数
在区间（1，4）内为减函数，在区间

（6，+∞）上为增函数，试求实数a的取值范围.

解：函数
的导数
令
，解得

为增函数.

依题意应有 当

所以
解得

所以a的取值范围是[5，7].

22.设双曲线C：
相交于两个不同的点A、B.

（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：

（II）设直线l与y轴的交点为P，且
求a的值.

解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组

有两个不同的实数解.消去y并整理得

（1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ①

双曲线的离心率

（II）设

由于x1+x2都是方程①的根，且1－a2≠0，

.