黄浦区2012学年度第一学期高三年级期终考试

数学试卷(文科) （一模） 2013年1月17日

考生注意：

1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；

2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；

3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．

一、填空题(本大题满分56分)　本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直

接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．

1．函数
的最小正周期为　　　　　．

【答案】

因为
，所以函数的最小正周期为
。

2．已知集合
，
，则
　　　 　．

【答案】

因为
，所以
。

3．若
(
为虚数单位)为纯虚数，则实数
的值为 　 ．

【答案】2

因为
为纯虚数，所以
，解得
。

4．若数列
的通项公式为

，则
．

【答案】

因为

，所以
,
，所以
。

5．若双曲线
的一条渐近线过点P(1, 2)，则b的值为_________．

【答案】4

双曲线的渐近线方程为
，因为点P(1, 2)在第一象限，所以点P(1, 2)在渐近线
上，所以有
，所以
。

6．已知
，
，则
的值为 　　　 ．

【答案】

因为
所以

。

7．已知直线
：
和
：
，则
∥
的充要条件是
= 　 ．

【答案】3

因为
的斜截式方程为
，斜率存在为
，所以直线
的斜率也存在所以
，即
，所以要使
∥
，则有
，解得
或
且
，所以
。

8．
的展开式中
的系数是 （用数字作答）．

【答案】36

展开式的通项为
，由
，得
，所以
，所以
的系数是36.

9．执行右边的程序框图，若
，则输出的S =

．

【答案】81

由程序框图可知该程序是计算
.当
时，由
得
，所以所求的
。

10．盒中装有形状、大小完全相同的7个球，其中红色球4个，黄色球3个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于　　　　　．

【答案】

从7个球中取2个有
种，颜色不同的有
，所以取出的2个球颜色不同的概率等于
。

11．已知

，且函数
有且仅有两个零点，则实数
的取值范围是 ．

【答案】

由
得
，设
。做出函数

的图象，
当
时，直线
与
有两个交点，所以要使
有且仅有两个零点，则有
，即实数
的取值范围是
。

12．已知函数
(
且
)满足
，若
是
的反函数，则关于x的不等式
的解集是 　　 ．

【答案】

因为
，所以
，解得
。因为
是
的反函数，所以
，
。所以由
得
，即
，解得
，即不等式
的解集是
。

13．已知抛物线
上一点
(m>0)到其焦点F的距离为5，该抛物线的顶点在直线MF上的射影为点P，则点P的坐标为　　　　　．

【答案】

抛物线的焦点坐标
，准线方程为
。因为
，所以解得
。所以抛物线方程为
，即
，所以
。即
，则直线MF的方程为
，斜率为
。因为
,所以
的斜率为
，即直线
的方程为
，即
所以由
解得
，即点P的坐标为
。

14．已知命题“若
，
，则集合
”

是假命题，则实数
的取值范围是　　　　　　．

【答案】

题意即不等式
在
时有解.
(

令
，则
，又令
，则
的图像是直线，不等式
有解的充要条件是
，或
(
，或

(
，或
(-7

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．在四边形ABCD中，
，且
·
＝0，则四边形ABCD是 （ ）

A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形

【答案】A

由
可知四边形ABCD为平行四边形，又
·
＝0，所以
，即对角线垂直，所以四边形ABCD是菱形，选A.

16．已知
且
C，则
（i为虚数单位）的最小值是 （ ）

A．
B．
　 C．
D．

【答案】D

因为
，所以
的轨迹为圆
。又
的几何意义为圆
上点
到点
距离的最小值。圆心
到点
的距离为
,所以
的最小值是
，选D.

17．若矩阵
满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为
；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的．则这样的不同矩阵的个数为 （ 　）

A．24 B．48 C．144 D．288

【答案】C

因为只有两列的上下两数相同，①取这两列，有
种，②从1、2、3、4中取2个数排这两列，有
种，③排另两列，有
种，∴共有
=144种；.选C.

18．若
是R上的奇函数，且
在
上单调递增，则下列结论：①
是

偶函数；②对任意的
都有
；③
在
上单调递增；

④
在
上单调递增．其中正确结论的个数为　　　 　 　（　 ）

A．1　 　　　　 　 B．2　　　　　　　 C．3　　　　　 　 D．4

【答案】B

取f(x)=x3，x=-1，则f(-x)+|f(x)|=f(1)+|f(-1)|=2≠0，故②错，又f(-x)=-x3在(-(,0]上单调减，故③错. 对于①，设x(R，则|f(-x)|=|-f(x)|=| f(x)|( y=|f(x)|是偶函数，所以①对；对于④，设x1-x2≥0，∵f(x)在[0,+()上单调递增，∴f(-x1)> f(-x2)≥f(0)=0( f 2(-x1)> f 2 (-x2)( f 2(x1)> f 2 (x2)，∴f(x1) f(-x1)=- f 2(x1)<- f 2(x2)= f(x2) f(-x2)( y=f(x)f(-x)在(-(,0]上单调递增，故④对.所以选B.

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

如图所示，在棱长为2的正方体
中，
,
分别为线段
,
的

中点．

（1）求三棱锥
的体积；

（2）求异面直线
与
所成的角．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．

在△ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，且A, B, C成等差数列．

（1）若
，且
，求
的值；

（2）若
，求
的取值范围．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．

如图所示，
是一个矩形花坛，其中AB= 6米，AD = 4米．现将矩形花坛
扩建成一个更大的矩形花园
，要求：B在
上，D在
上，对角线
过C点， 且矩形
的面积小于150平方米．

（1）设
长为
米，矩形
的面积为
平方米，试用解析式将
表示成
的函数，并写出该函数的定义域；

（2）当
的长度是多少时，矩形
的面积最小?并求最小面积．

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小

题满分6分．

给定椭圆
：
，称圆心在原点O、半径是
的圆为椭圆C的

“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为
，其短轴的一个端点到点F的距离为
．

（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；

（2）过椭圆C的“准圆”与
轴正半轴的交点P作直线
，使得
与椭圆C都只有一个交点，求
的方程；

（3）若点
是椭圆
的“准圆”与
轴正半轴的交点，
是椭圆
上的两相异点，且
轴，求
的取值范围．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．

对于函数
与常数
，若
恒成立，则称
为函数
的一个“P数对”．设函数
的定义域为
，且
．

（1）若
是
的一个“P数对”，求
；

（2）若
是
的一个“P数对”，且当
时

，求
在区间

上的最大值与最小值；

（3）若
是增函数，且
是
的一个“P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．

①