长宁区2012-2013学年第一学期高三质量调研试卷

数学文

一、填空题（本大题满分56分）

1、计算：
=

【答案】

。

2、记函数
的反函数为
如果函数
的图像过点
,那么函数
的图像过点

答案】

因为函数
的图像过点，则反函数为
的图象过点
，所以函数
过点
。

3、已知口袋里装有同样大小、同样质量的
个小球，其中
个白球、
个黑球，则从口袋中任意摸出
个球恰好是
白
黑的概率为 . （结果精确到
）

【答案】

任意摸出
个球恰好是
白
黑的概率为
。

4、
展开式中含
项的系数为 .

【答案】1

展开式的通项公式为
，由
，得
，所以
，所以
的系数为1.

5、设
为定义在
上的奇函数，当
时，
（
为常数），

则

【答案】
（后面提供答案好像有误）

因为函数为奇函数，所以
，即
，所以
。所以

6、 (文)已知z为复数，且
，则z=

【答案】

由条件知
，所以
。

7、从数列
中可以找出无限项构成一个新的等比数列
，使得该新数列的各项和为
，则此数列
的通项公式为

【答案】

设数列
的首项为
，公比
因为
，所以
，即
，所以
。因为
，所以
是偶数，则
一定是奇数，所以必有
，即
。所以
，即
。所以
，
，所以
，即数列
的通项公式为

8、阅读如图所示的程序框图，输出的S值为

【答案】

本程序是计算
的数值，所以当
时，
。

9、已知
的面积为
，则
的周长等于

【答案】

，即
。又由余弦定理可知
，即
，所以
，即
，解得
，即
。所以
的周长等于
。

10、给出下列命题中

① 非零向量
满足
，则
的夹角为
；

②


＞0，是
的夹角为锐角的充要条件；

③ 将函数
的图象按向量
=(－1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为
；

④ 在
中，若

，则
为等腰三角形；

以上命题正确的是 （注：把你认为正确的命题的序号都填上）

【答案】①③④

①由
得，三角形为等边三角形，所以
与
的夹角为
。所以正确。②当
夹角为
时，满足
，但此时夹角不是锐角，所以错误。③函数按
平移，相当于沿着
轴向左平移1个单位，此时得到函数
的图象，所以正确。④
，即
，所以
为等腰三角形，所以正确。综上命题正确的是①③④。

11、（文）已知长方体的三条棱长分别为
，
，
，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为____________．

【答案】

因为长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则长方体的体对角线为球的直径，
，所以球半径
，所以球的表面积为
。

12、（文）已知向量
=

=
,若


，则
的最小值为 ;

【答案】6

因为
，所以
，即
。所以
，当且仅当
，即
时取等号，所以最小值为6.

13、（文）设
为非零实数，偶函数
在区间
上存在唯一零点，则实数
的取值范围是 .

【答案】

因为函数
为偶函数，所以
，所以
。要使函数在区间
上存在唯一零点，则有
，即
，所以
，解得
，即实数
的取值范围是
。

14、（文）已知数列
满足
，且
，且
，则数列
中项的最大值为

【答案】1

原式等价为
，即数列
，是以
为首项，
为公比的等比数列，所以
，即
，所以数列为递减数列，所以数列中最大的项为
。

二、选择题（本大题满分20分）

15、“φ＝
”是“函数
为偶函数的”（ ）

A.充分不必要条件　　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充要条件 　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

若
为偶函数，则有
，所以
是函数
为偶函数的充分不必要条件，选A.

16、若
，则
必定是 （ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

，所以
，所以三角形为直角三角形，选B.

17、已知m，n是两条不同直线，
是两个不同平面，下列命题中的假命题的是（ ）

A.
B.

C.
D.

【答案】C

C中，当
时，直线
，当
时，直线
不一定成立，所以C为假命题，选C.

18、（文）已知函数

,若
则实数
的取值范围是（ ）

A
B
C
D

【答案】C

因为函数
为奇函数，且当
时，为增函数，所以
为增函数，所以由
得
，即
，解得
，选C.

三、解答题（本大题满分74分）

19、（本题满分12分）已知
，满足
．

（1）将
表示为
的函数
，并求
的最小正周期；

（2）（文）当
时，
恒成立，求实数
的取值范围。

20、（本题满分12分）如图，△
中，
，
，
，在三角形内挖去一个半圆（圆心
在边
上，半圆与
、
分别相切于点
、
，与
交于点
），将△
绕直线
旋转一周得到一个旋转体。

（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；

（2）求图中阴影部分绕直线
旋转一周所得旋转体的体积．

21、（本题满分14分）

（文）某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x元，又该厂职工工资固定支出12500元。

（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；

（2）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：
，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额-总的成本）

22． (本小题满分18分) （文）已知二次函数
。

（1）函数
在
上单调递增，求实数
的取值范围；

（2）关于
的不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围；

（3）函数
在
上是增函数，求实数
的取值范围。

23．（本题满分18分）（文）设
，等差数列
中
，
，记
=
，令
，数列
的前n项和为
.

（1）求
的通项公式和
；

（2）求证：
；

（3）是否存在正整数
，且
，使得
成等比数列？若存在，求出
的值，若不存在，说明理由.

长宁区2012学年第一学期高三数学期终抽测试卷答案

一、填空题（每小题4分，满分56分）

1、
2、
3、
4、1 5、
6、（文）

7、
8、
9、
10、①③④

11、（文）
12、（文）
13、（文）

14、（文）1

二、选择题（每小题5分，满分20分）

15、
16、
17、
18、

三、解答题

19、解（1）由
得
…………3分

即

所以
，其最小正周期为
． …………6分

（文）（2）
,因此
的最小值为
，…………9分

由
恒成立，得
，

所以实数
的取值范围是
. ………12分

20、解（1）连接
，则

， …………3分

设
，则

，又
，所以
，…………6分

所以，

…………8分

（2）
…………12分

21、（文）解：（1）
………………………………………3分

由基本不等式得

当且仅当
，即
时，等号成立 ……………………6分

∴
，成本的最小值为
元． ……………………7分

（2）设总利润为
元，则

……………10分

当
时,
……………………………………………………13分

答：生产
件产品时，总利润最高，最高总利润为
元．… ……14分

22、（文）解：（1）当
时，
，不合题意；……………1分

当
时，
在
上不可能单调递增；……………2分

当
时，图像对称轴为
，

由条件得
，得
……………4分

（2）设
， ……………5分

当
时，
， ……………7分

因为不等式
在
上恒成立，所以
在
时的最小值大于或等于2，

所以，
， ……………9分

解得
。 ……………10分

（3）
在
上是增函数，设
，则
，

，
，……………12分

因为
，所以
， ……………14分

而
， ……………16分

所以
……………18分

23、（文）解：（1）设数列
的公差为
，由
,

.解得
，
=3 ， ……………2分

∴
……………4分

∵
， ∴Sn=
=
. ……………6分

（2）

∴
……………8分

∴
……………10分

（3）由(2)知，
∴
，
，∵
成等比数列.

∴
……………12分

即

当
时，7
，
=1，不合题意；当
时，

，
=16，符合题意；

当
时，

，
无正整数解；当
时，

，
无正整数解；

当
时，

，
无正整数解；当
时，

，
无正整数解；

……………15分

当
时，
，则
，而
，

所以，此时不存在正整数m,n,且1

综上，存在正整数m=2,n=16,且1

另解：

（3）由(2)知，
∴
，

∵
成等比数列. ∴
， ……………12分

取倒数再化简得

当
时，

，
=16，符合题意； ……………14分

，

而
，

所以，此时不存在正整数m、n , 且1

综上，存在正整数m=2,n=16,且1