崇明县2012学年第一学期期末考试试卷

高 三 数 学（一模）

（考试时间120分钟，满分150分）

考生注意：

　　本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答案必须写在答题纸上，做在试卷上一律不得分。答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

一、填空题（每题4分，共56分）

1、设复数
（
为虚数单位），则
　　　　　　　　　.

【答案】

由
得
。

2、已知
且
，则
　　　　　　　　　.

【答案】

由
得
，所以
。因为
，所以
，所以当
时，
。

3、过点
，且与直线
垂直的直线方程是　　　　　　　　　.

【答案】

直线
的斜率为1，所以过点
，且与直线
垂直的直线的斜率为
，所以对应方程为
，即
。

4、若集合
，则
等于　　　　　　　　　.

【答案】

，
，所以
。

5、已知
是函数

的反函数，则
　　　　　　　　　.

【答案】

由
得
，所以
，即
。

6、
展开式中
的系数是　　　　　　　　　.（用数字作答）

【答案】10

展开式的通项为
，由
，得
，所以
，即
的系数是10.

7、执行框图，会打印出一列数，这个数列的第3项是　　　　　　　　　.


【答案】30

第一次循环，
;第二次循环，
;第三次循环，
，所以数列的第三个数为
.

8、若圆锥的侧面展开图是半径为1cm、圆心角为
的半圆，则这个圆锥的轴截面面积等于　　　　　　　　　.

【答案】

因为半圆的周长为
，所以圆锥的母线为1。设圆锥的底面半径为
，则
，所以
。圆锥的高为
，所以圆锥的轴截面面积为
。

9、数列
的通项公式是
，前
项和为
，则
　　　　　　　　　.

【答案】

因为

，所以
。

10、已知：条件A：
，条件B：
，如果条件
是条件
的充分不必要条件，则实数
的取值范围是　　　　　　　　　.

【答案】

由
得
，即
，解得
，即A:
.因为条件
是条件
的充分不必要条件，所以
，即实数
的取值范围是
。

11、在
中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若
，则
的最小值等于　　　　　　　　　.

【答案】

因为
，所以
，即
当且仅当
时去等号。所以
，所以
的最小值等于
.

12、在平面直角坐标系中，
，将向量
按逆时针旋转
后得向量
，则点
的坐标是　　　　　　　　　.

【答案】

,设
，其中
。将向量
按逆时针旋转
后得向量
，设
，则
，
，即
.

13、数列
满足
，则
的前60项和等于　　　　　　　　　　　　　　　.

【答案】1830

，n+1代n，得
，

当n为奇数时，
，
(
(a1+a3=a5+a7=…

= a57+a59=2(S奇=
，由
得：
，
，

，…，
，以上各式相加，得S偶-S奇=

∴S60=(S偶-S奇)+2S奇=1770+60=1830.

14、已知
,
，若同时满足条件：①对于任意
，
或
成立； ②存在
，使得
成立．则
的取值范围是

　　　　　　　　　　.

【答案】



解：由
(x<1，要使对于任意x(R，
或
成立，则x≥1时，
<0恒成立，故m<0，且两根2m与-m-3均比1小，得-4

∵x((-(,-4)时，
，故应存在x0((-(,-4)，使f(x0)>0，

只要-4>2m或-4>-m-3(m<-2或m>1②，由①、②求交，得-4

二、选择题（每题5分，共20分）

15、设函数

，则下列结论错误的是………………………………………（　　）

A．
的值域为
B．
是偶函数

C．
不是周期函数 D．
不是单调函数

【答案】C

因为
，所以函数的周期是
，即
是周期函数，所以C错误。选C.

16、下面是关于复数
的四个命题：

　　①
；　②
；　③
的共轭复数为
；　④
的虚部为
．

其中正确的命题……………………………………………………………………………（　　）

A．②③ B．①② C．②④ D．③④

【答案】C

，所以
。
的共轭复数为
，
的虚部为
，
，所以②④ 正确，选C.

17、等轴双曲线
：
与抛物线
的准线交于
两点，
，则

双曲线
的实轴长等于……………………………………………………………………（　　）

A．
B．
C．4 D．8

【答案】C

抛物线的准线为
，当
时，
，解得
，因为
，所以
，所以
，所以
，所以双曲线的实轴为
，选C.

18、某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为……………………（　　）

A．
B．
C．
D．

【答案】A

6节课共有
种排法.语文、数学、外语三门文化课中间隔1节艺术课有
种排法，三门文化课中、都相邻有
种排法，三门文化课中有两门相邻有
，故所有的排法有
，所以相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为
,选A.

三、解答题（本大题共74分，解答下列各题需要必要的步骤）

19、（本题12分，第(1)小题6分，第(2)小题6分）

　　已知函数
,
.

（1）求函数
的最小正周期；

（2）当
时，求函数
的值域以及函数
的单调区间．

20、（本题14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分）

（理科）如图，在长方体
中,
,
为
中点．

（1）求证：
；

（2）若
，求二面角
的大小．

（文科）如图，四面体
中，
、
分别是
、
的中点，
平面
，

．

（1）求三棱锥
的体积；

（2）求异面直线
与
所成角的大小．

21、（本题14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分）

已知数列
，记
,
,

,
，并且对于任意
，恒有
成立．

（1）若
，且对任意
，三个数
组成等差数列，求数列
的

通项公式；

（2）证明：数列
是公比为
的等比数列的充分必要条件是：对任意
，三个数

组成公比为
的等比数列．

22、（本题16分，第(1)小题4分；第(2)小题6分；第(3)小题6分）

设函数
.

（1）当
时，求函数
在区间
内的零点；

（2）设
，证明：
在区间
内存在唯一的零点；

（3）设
，若对任意
，有
，求
的取值范围．

23、（本题18分，第(1)小题6分；第(2)小题12分）

　　如图，椭圆
的左焦点为
，右焦点为
，过
的直线交椭圆于

两点，
的周长为8，且
面积最大时，
为正三角形．

（1）求椭圆
的方程；

（2）设动直线
与椭圆
有且只有一个公共点
，且与直线
相交于点
．

试探究：① 以
为直径的圆与
轴的位置关系？

② 在坐标平面内是否存在定点
，使得以
为直径的圆恒过点
？

若存在，求出
的坐标；若不存在，说明理由．

崇明县2012学年第一学期高三数学参考解答

一、填空题

1、
2、
3、
4、
5、

6、10 7、30 8、
9、
10、

11、
12、