2013深圳外国语学校综合测试

理科数学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．共4页．满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．选择题答案的序号填涂在答题卡指定的位置上，非选择题应在答题卡上对应的位置作答. 超出答题区域书写的答案无效．

2．作选考题时，按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

参考数据：锥体的体积公式
锥体
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．

第I卷（选择题 共40分）

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．设全集
＜
，集合
，则
等于

A．
B．
　C．
D．

2.
是虚数单位，若
，则
等于

A．1　 　　　　 B．
　　　　　C．
　　　　　D．

3．若
，对任意实数
都有
，且
，则实数
的值等于

A．
； B．
； C．
或
D．5或1

4．在等比数列
中，
，公比
．若
，则
（ ）

A．9 　 　　B．10 　　 　 C．11 　　 　 D．12

5．实数
满足
若目标函数
取得最大值4，则实数
的值为

A．2 　　　　B．3 　　　　C．4 　　　　 D．

6．某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，若甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为

A．24　 　　 　　B．36　　　　　　　C．48　　　　　　D．60

7．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为

A．
B．
C．
D．

8．在整数集
中，被5除所得余数为
的所有整数组成一个“类”，记为
，即
．给出如下四个结论：

①
； ②
； ③
；

④“整数
，
属于同一“类”的充要条件是“
”．

其中，正确结论的是 ( )

A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④

第II卷（非选择题 共110分）

二、填空题：（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）

（一）必做题 (9～13题)

9．已知向量
、
的夹角为
，且
，
，则
________.

10. 运行如右图所示的程序框图,则输出
的值为________.

11.直线
与抛物线
围成的图形的面积等于______.

12.已知双曲线
（
）的离心率为2，一个焦点与抛物线
的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为_________.

13. 已知函数
的图象关于点
对称，且函数
为奇函数，则下列结论：①点
的坐标为
；②当
时，
恒成立；③关于
的方程
有且只有两个实根。其中正确结论的题号为 。

A．①② 　　 B．②③ 　　 C． 　　 D．①②③

（二）选做题 (14～15题，考生只能从中选做一题)

14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线
的参数方程为
；在极坐标系（以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴）中，曲线
的方程为
， 则
与
两交点的距离为________.

15．（几何证明选讲选做题）如图,
是两圆的交点,
是小圆的一条直径,
和
分别是
和
的延长线与大圆的交点,已知
,且
,则
________________．

三、解答题（本大题共6小题，满分80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

16．（本小题满分12分）

已知函数
，

(I) 求函数
的最小正周期及单调增区间；

(Ⅱ)在
中，角A、B、C所对的边分别是
、
、
，又
，
，
的面积等于
，求边长
的值．

17．（本小题满分l2分）

如图,一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域.用力旋转转盘,转盘停止转动时,箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动),且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的.在一次家庭抽奖的活动中,要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘,得分情况记为(a,b)(假设儿童和成人的得分互不影响,且每个家庭只能参加一次活动).

(Ⅰ)求某个家庭得分为(5,3)的概率；

(Ⅱ)若游戏规定:一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和,且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品.求某个家庭获奖的概率；

(Ⅲ)若共有4个家庭参加家庭抽奖活动.在(Ⅱ)的条件下,记获奖的家庭数为X,求X的分布列及数学期望.

18．（本小题满分l4分）

如图，在矩形
中，
，
为
的中点，将
沿
折起，使
；再过点
作
，且
．

(Ⅰ)求证：
；

(Ⅱ)求直线
与
所成角的正弦值；

(Ⅲ)求点
到
的距离．

19．（本小题满分l4分）

已知等差数列
的首项为a，公差为b，等比数列
的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且
．

（1）求a的值；

（2）若对于任意的
，总存在
，使得
成立，求b的值；

（3）令
，问数列
中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．

20．(本小题满分l4分)

如图，已知抛物线
：
和⊙
：
，过抛物线
上一点

作两条直线与⊙
相切于
、
两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点
到抛物线准线的距离为
．

（1）求抛物线
的方程；

（2）当
的角平分线垂直
轴时，求直线
的斜率；

（3）若直线
在
轴上的截距为
，求
的最小值．

21．(本小题满分l4分)

设
是定义在区间
上的函数，其导函数为
.如果存在实数
和函数
，其中
对任意的
都有
，使得
，则称函数
具有性质
.

（I）设函数
，（
），其中
为实数

①求证：函数
具有性质
；

②求函数
的单调区间；

(II)已知函数
具有性质
，给定
，
，

设
为实数，
，
，且
，
，

若
，求
的取值范围。

数 学(理科)参考答案

一、选择题

D B C C　A B A C

二、填空题

9．
　　　 10．
　　　11．
　　 12．
　　13．
①③

14．
　　　　15．

三、解答题

16、
解：（1）因为
………2分

故
的最小正周期为
………3分

即
………5分

所以，函数的增区间为
………6分

（2）



………8分

………10分

由余弦定理

………12分

17、 解：(Ⅰ)记事件A：某个家庭得分情况为（5，3）.

所以某个家庭得分情况为（5，3）的概率为
. ……………2分

（Ⅱ）记事件B：某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括（5，3），（5，5），（3，5）共3类情况. 所以

所以某个家庭获奖的概率为
. ……………4分

(Ⅲ)由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是
……5分

…………………………10分

所以X分布列为：

X

0

1

2

3

4



P














…………………………12分

18、（1）证明：折叠前，矩形
中，连接
，
中，
，

，

即
， ………1分

，交线为
，

， ………3分

而

………4分

（2） 由（1）知，


是直线与
所成的角，………6分

在
中，
，

………8分

故直线
与
所成角的正弦值为
。 ………9分

（3）设点
到
的距离为
，

且
，

四边形
为平行四边形，

，从而
，

故点
到
的距离等于点
到
的距离， ………11分

，

作
，

，交线为
，

，则
是D到面ABCE的距离，而
………12分

由

………13分

点
到
的距离为