高三过程性训练（三）

数学试题（文科）

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合
，则B中所含元素的个数为

A.3 B.6 C.8 D.10

【答案】D

【解析】当
时，
。当
时，
。当
时，
。当
时，
。所以 B中所含元素的个数为10个，选D.

2.已知两非零向量
则“
”是“
与
共线”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为
，所以
，所以
，此时
与
共线，若
与
共线，则有
或
，当
时，
，所以“
”是“
与
共线”的充分不必要条件，选A.

3.已知直线
与
平行，则
的值是

A.1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2

【答案】C

【解析】若
，则两直线为
，
，此时两直线平行，所以满足条件。当
时，要使两直线平行，则有
，即
，解得
，综上满足条件
的值为
或
，选C.

4.平面直角坐标系中，已知两点
，若点C满足
（O为原点），其中
，且
，则点C的轨迹是

A.直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线

【答案】A

【解析】因为
，所以设
,则有
，即
，解得
，又
，所以
，即
，所以轨迹为直线，选A.

5.已知函数
，
是定义在R上的奇函数，当
时，
，则函数
的大致图象为

【答案】D

【解析】因为函数
为偶函数，
为奇函数，所以
为奇函数，图象关于原点对称，排除A,B.当
时，
，
，所以
，排除C，选D.

6.各项为正数的等比数列
中，
成等差数列，则
的值为

A.
B.
C.
D.

【答案】B

【解析】因为
成等差数列，所以
，即
，所以
，解得
或
（舍去）。所以
，选B.

7.在
中，角A,B,C所对的边分别为
表示
的面积，若
，
，则

A.30° B.45° C.60° D.90°

【答案】B

【解析】根据正弦定理得
，即
，所以
。即
。由
得
，即
，即
，所以
，所以
，选B.

8.若圆
关于直线
对称，则由点
向圆所作的切线长的最小值是

A.2 B.3 C.4 D.6

【答案】C

【解析】圆的标准方程为
，所以圆心为
，半径为
。因为圆关于直线
对称，所以圆心在直线上
，所以
，即
。点
到圆心的距离为

，所以当
时，
有最小值
。此时切线长最小为
，所以选C.

9.已知直线
和平面
，且
在
内的射影分别为直线
和
，则
和
的位置关系是

A.相交或平行 B.相交或异面 C.平行或异面 D.相交、平行或异面

【答案】D

【解析】由题意，若
，则利用线面平行的判定，可知
，从而
在
内的射影直线
和
平行；若
，则
在
内的射影直线
和
相交于点A；若
，
，且直线
和
垂直，则
在
内的射影直线
和
相交；否则直线
和
异面

综上所述，
和
的位置关系是相交﹑平行或异面，选D．

10.设
分别是椭圆

的左、右焦点，与直线
相切的
交椭圆于点E，E恰好是直线EF1与
的切点，则椭圆的离心率为

A.
B.
C.
D.

【答案】C

【解析】因为直线
与圆相切，所以圆的半径为
。因为E，E恰好是直线EF1与
的切点，所以三角形
为直角三角形，所以
。所以根据勾股定理得
，即
，整理得
，所以
，
。得到
，即
，所以椭圆的离心率为
，选C.

11.四棱锥
的三视图如右图所示，四棱锥
的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为
，则该球表面积为

A.
B.24
C.
D.

【答案】A

【解析】将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥P-ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为
.设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF中点为G，连接OG，OA，AG.根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为
，即正方体面对角线长也是
,可得
,所以正方体棱长
,在直角三角形
中，
,
,即外接球半径
，得外接球表面积为
,选A.

12.定义在
，其中M是
内一点，
、
、
分别是
、
、
的面积，已知
中，
，则
的最小值是

A.8 B.9 C.16 D.18

【答案】D

【解析】由定义可知
,由
，得
，即
，所以
，所以
，即
。所以
，当且仅当
，即
取等号，解得
，所以
的最小值为18，选D.

第II卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请将答案填写在试题的横线上。

13.设
为坐标原点，
，若点
满足
则
取得最小值时，点B的坐标是________.

【答案】

【解析】由
得，
，所以不等式对应的区域为
，因为
，所以
，令
，则
，做平移直线
，由图象可知当直线
经过点
时，直线的截距最小，此时
最小，所以当点B位于C时，
取得最小值，此时坐标为
。

14.若函数
在
上是单调增函数，则实数
的取值范围是____.

【答案】

【解析】设
，则
，若
，则函数
递增，要使函数
在
上是单调增函数，则有
递增，所以有
，即
，所以
。若
，则函数
递减，要使函数
在
上是单调增函数，则有
递减，所以有
，即
，解得
。所以实数
的取值范围是
或
。即
。

15已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为
，外接球的体积是
，则A、B两点的球面距离为____________.

【答案】

【解析】因为正四棱柱外接球的体积为
，所以
,即外接球的半径为
，所以正四棱柱的体对角线为
，设底面边长为
，则
，解得底面边长
。所以三角形
为正三角形，所以
，所以A、B两点的球面距离为
.

16.给出以下五个命题：

①命题“
”的否定是：“
”.

②已知函数
的图象经过点
，则函数图象上过点P的切线斜率等于
.

③
是直线
和直线
垂直的充要条件.

④函数
在区间
上存在零点.

⑤已知向量
与向量
的夹角为锐角，那么实数
的取值范围是
.

其中正确命题的序号是________.

【答案】②③④

【解析】①命题“
”的否定是
,所以错误。②因为函数
的图象经过点
，所以有
，所以