山东烟台市2012—2013年度第一学期高三期末检测

数学（文）

注意事项：

1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。

2.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B铅笔。要字迹工整，笔迹清晰。超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效。

3.答卷前将密封线内的项目填写清楚。

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题上卡上。

1.已知
,
，则
等于

A.
B.｛2｝ C.
D.

【答案】D

因为
，
，所以
，选D.

2.已知点
，向量a=(1,2)，若
，则实数y的值为

A.5 B.6 C.7 D.8

【答案】C

,因为
，所以
，即
，选C.

3.已知
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

【答案】B

由
得
。所以
，选B.

4.函数
的零点所在的大致区间是

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(3,4)

【答案】B

因为
，
，所以函数的零点所在的大致区间是
中间，选B.

5.已知动点P(m,n)在不等式组
表示的平面区域内部及其边界上运动，则
的最小值是

A.4 B.3 C.
D.

【答案】D

做出不等式组对应的平面区域OAB
.因为
，所以
的几何意义是区域内任意一点
与点
两点直线的斜率。所以由图象可知当直线经过点
时，斜率最小，由
，得
，即
,此时
,所以
的最小值是
，选D.

6.右图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的侧视图的面积为

A.
B.
C.
D.

【答案】C

该组合体的侧视图为
.其中正方形的边长为2，三角形为边长为2三角形，所以侧视图的面积为
，选C.

7.已知点P是抛物线x2=4y上的动点，点P在直线y+1=0上的射影是点M，点A的坐标(4,2)，则
的最小值是

A.
B.
C.3 D.2

【答案】A

抛物线的焦点坐标
,准线方程为
。根据抛物线的定义可知
,所以
，即当A,P,F三点共线时，所以最小值为
,选A.

8.已知与向量v=(1,0)平行的直线
与双曲线
相交于A、B两点，则
的最小值为

A.2 B.
C.4 D.

【答案】C

由题意可设直线
的方程为
，代入
得
，所以
，
，所以
，所以
，即当
时，
有最小值4，选C.

9.函数
其中（
）的图象如图所示，为了得到
的图象，则只需将
的图象

A.向右平移
个长度单位 B.向右平移
个长度单位

C.向左平移
个长度单位 D.向左平衡
个长度单位

【答案】A

由图象可知
,即
，又
，所以
，所以
，由
，得
，即
，即
，因为
，所以
，所以
。因为
，所以只需将
的图象向右平移
个长度单位，即可得到
的图象，所以选A.

10.已知直线a和平面
，且
在
内的射影分别为直线b和c，则b和c的位置关系是

A.相交或平行 B.相交或异面 C.平行或异面 D.相交、平行或异面

【答案】D

由题意，若
，则利用线面平行的判定，可知
，从而
在
内的射影分别为直线b和c平行；若
，则
在
内的射影直线b和c相交于点A；若
，
，且直线a和l垂直，则
在
内的射影直线b和c相交；否则直线b和c异面,综上所述，b和c的位置关系是相交﹑平行或异面

故选D．

11.设函数
的图像在点
处切线的斜率为k，则函数k=g(t)的部分图像为

【答案】B

函数的导数为
，即
。则函数
为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除A,C.当
时，
，所以排除排除D,选B.

12.已知函数
，对于曲线
上横坐标成等差数列的三个点A、B、C，给出以下四个判断：①△ABC一定是钝角三角形；②△ABC可能是直角三角形；③△ABC可能是等腰三角形；④△ABC不可能是等腰三角形，其中正确的判断是

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

【答案】B

设
，则
。
，
，
不妨设
，则
，
，则
，所以△ABC一定是钝角三角形所以①正确；若
,则

整理得
，因为
，所以必有
，即
，所以
，这与函数
为单调增函数矛盾.所以④正确。所以正确的判断是①④，选B.

二、填空题。本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在答题卡的相应位置。

13.已知等比数列｛an｝中，
，则
等于

【答案】4

在等比数列中
，所以
，所以
。所以
，即
，所以
。

14.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=1,b=2,
,则sinB等

于

【答案】

，由余弦定理得
，即
。由
得，
。由正弦定理得
，得
。（或者因为
，所以
，即三角形为等腰三角形，所以
）。

15.已知直线
过圆
的圆心，
的最大值为

【答案】

圆的标准方程为
，所以圆心为
，因为直线过圆心，所以
，即
。又
，所以
，当且仅当
时取等号，所以
的最大值为
。

16.若对函数
定义域内的每一个值
，都存在唯一的值
，使得
成立，则称此函数为“K函数”，给出下列三个命题：

①
是“K函数”；②
是“K函数”；③
是“K函数”，其中正确命题的序号是

【答案】②

对于①
，由
得
，即
，对应的
不唯一，所以①
不是K函数。对于②
，由
得，
，即
，所以
，所以唯一，所以②
是K函数。对于③
，因为
有零点，所以当
时，
，但此时
不成立，所以③
不是K函数，所以其中正确命题的序号是②。

三、解答题。本大题共6个小题，共74分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤。

17.（本小题满分12分）

已知角
的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点
.

（1）求
的值：

（2）若函数
，求
在
上的单调递增区间。

18.（本小题满分12分）

已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且
.

（1）求数列｛an｝的通项公式；

（2）记
，求Sn

19.（本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，平面ACEE⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90℃，EF//BC，
,AE=EC=1。

（1）求证；AE⊥平面DCEF；

（2）求三锥F-ABC的体积。

20.（本小题满分12分）

某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长k米的圆。在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连，经预算，转盘上的每个座位与支点相连钢管的费用为3k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的

钢管和其中一个座位的总费用为
元，假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记转盘的总造价为y元。

（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（2）当k=50米时，试确定座位的个数，使得总造价最低。

21.（本小题满分13分）

已知椭圆
、
分别为其左、右焦点，A、B分别为其上顶点、右顶点，且满足
.

（1）求椭圆C的离心率e；

（2）若P为椭圆C上的任意一点，是否存在过点F2、P的直线
，使
与y轴的交点R满足
若存在，求出直线
的斜率k；若不存在，请说明理由。

22.（本小题满分13分）

已知
，其中e是自然对数的底。

（1）若
在x=1处取得极值，求a的值；

（2）求
的单调区间；

（3）设
，若存在
，使得
成立，求a的取值范围。