2013年1月高三教学质量调研考试

文 科 数 学

本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页. 训练时间120分钟，满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上.

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

参考公式：

柱体的体积公式：
，其中
是柱体的底面积，
是柱体的高.

第I卷（选择题? 共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1．复数

A．
B．
C．
D．

【答案】D

,选D.

2．已知集合
，
，则
＝

A．
B.
C.
D．

【答案】D

,
，所以
，选D.

3．设
，则
=

A. 1 B. 2 C4 D. 8

【答案】B

,所以
，选B.

4．已知数列
的前
项和为
，且
， 则

A. -10 B. 6 C. 10 D. 14

【答案】C

,选C.

5．在
中，若
，则C=

A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°

【答案】A

由
得，
，所以
，选A.

6．如图在程序框图中，若输入
, 则输出
的值是

A．
B．
C．
D．

【答案】B

输入
，则第一次循环
，第二次循环
，第三次循环
，第四次循环
，此时满足条件，输出
，选B.

7．设
，则“
”是“直线
与直线
平行”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

若
，则
，解得
或
。所以
是
充分不必要条件，选A.

8．把函数
的图象上所有的点向左平行移动
个单位长度，再把所得图象上所有点的横

坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式是

A．
B．
C．
D．

【答案】D

函数
的图象上所有的点向左平行移动
个单位长度,得到
，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍，得到
，选D.

9．已知变量
满足约束条件
, 则目标函数
的最大值是

A．6 B．3 C．
D．1

【答案】A

由
得
。做出可行域如图
，做直线
，平移直线
，由平移可知，当直线经过点D时，直线
的截距最大，此时
，选A.

10．若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积是

A. 36 cm3 B. 48 cm3

C. 60 cm3 D. 72 cm3

【答案】B

由三视图可知，上面是个长为4宽为2的长方体，下面是一个发放倒的四棱柱，高为4，底面是个梯形，上下底分别为2,6，高为2.所以长方体的体积为
，四棱柱的体积为
，所以该几何体的体积为
，选B.

11．已知函数
，则函数
的图象可能是

【答案】B

,选B.

12．已知椭圆方程
,双曲线的焦点是椭圆的顶点,顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率

A.
B.
C. 2 D. 3

【答案】C

椭圆的焦点为
，顶点为
，即双曲线中
，所以双曲线的离心率为
，选C.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.

13．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为
，从中抽取200名职员作为样本，则应抽取青年职员的人数为____________．

【答案】88

青年所占人数比为
，所以抽取青年职员的人数为
.

14．若
，且
，则
= .

【答案】2

因为
，所以
，即
。

15．圆心在原点，并与直线
相切的圆的方程为 .

【答案】

圆心到直线的距离
，即圆的半径为
，所以圆的标准方程为
。

16．定义在
上的函数
满足
，且
时，
，则
= .

【答案】

因为
，所以函数
为奇函数。因为
，所以
，即函数的周期为4.所以
,因为
，所以
，即
，所以
。

三、计算题：本大题共6小题，共74分.

17．(本小题满分12分)

已知向量
,
.

（1）求函数
的解析式；

（2）求函数
的单调递增区间.

18. (本小题满分12分)

已知等差数列
的前
项和为
，且满足
，
.

（1）求
的通项公式；

（2）设
，证明数列
是等比数列并求其前
项和
.

19. (本小题满分12分)

如图，已知三棱柱
中，
底面
，
，
分别是棱
中点．

（1）求证：
平面
；

（2）求证：
平面
．

20. (本小题满分12分)

某班
名学生在一次百米测试中，成绩全部介于
秒与
秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组
，第二组
，…，第五组
，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

（1）若成绩大于或等于
秒且小于
秒认为良好，

求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；

（2）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个

成绩的差的绝对值大于
的概率.

21.(本小题满分13分)

如图，椭圆
的左、右焦点分别为
，
．已知点
在椭圆上,

且点
到两焦点距离之和为4.

（1）求椭圆的方程；

（2）设与
(
为坐标原点)垂直的直线交椭圆于
（
不重合），求
的取值范围.

22. (本小题满分13分)

已知函数
.

（1）当
时，求
的极值；

（2）当
时，讨论
的单调性；

（3）若对任意的
恒有
成立，求实数
的取值范围.

2013 届高三教学质量调研考试

文科数学参考答案

一、选择题

1.D 2. D 3. B 4.C 5.A 6.B 7. A 8.D 9. A 10. B 11. B 12. C

二、填空题

13.88 14.2 15.
16.

三、解答题

17. 解：（1）

……………………… 2分

……………………… 4分

. ……………………… 6分

（2）由
,
……………………… 8分

得
,
……………………… 10分

∴函数
的单调递增区间是
,
……12分

18. 解：（1）设等差数列
的公差为
.由题意知

……………………… 4分

解得，
，
，

∴
(
) ……………………… 6分

（2）由题意知，
(
)，

(
) ……………………… 8分

∴
(
)，又

∴
是以
，公比为8的等比数列. ……………………… 10分

. ……………………… 12分

19. （1）证明：∵三棱柱
中，
底面
.

又
平面
， ∴
. ………………………………… 2分

∵
，
是
中点，

∴
. 　　　 …………………………………………………… 4分

∵
,
平面
,
平面

∴
平面
． ……………………………………………………… 6分

（2）证明：取
的中点
，连结
，
，

∵
，
分别是棱
，
中点，

∴
，
. ………………… 8分

又∵
，
，

∴
，
.

∴四边形
是平行四边形.

∴
. ……………………………………………………………　10分

∵
平面
，
平面
， 　

∴
平面
． ……………………………………………………… 12分

20. 解：（1）由频率分布直方图知，成绩在
内的人数为：
（人）… 3分

所以该班成绩良好的人数为
人. ……………………… 5分

（2）由频率分布直方图知，成绩在
的人数为
人，设为
、
；… 6分

成绩在
的人数为
人，设为
、
、
、
…… 7分

若
时，有

种情况； ……………………… 8分

若
时，有

种情况； …………… 9分

若
分别在
和
内时，

A

B

C

D



x

xA

xB

xC

xD



y

yA

yB

yC

yD



共有
种情况. ……………………… 10分

所以基本事件总数为
种，事件“
”所包含的基本事件个数有
种.

∴
（
）
. ……………………… 12分

21．解：（1）∵2a=4, ∴a=2. ………… 2分

又
在椭圆上，∴
………… 4分

解得:
,

∴所求椭圆方程
. ……………………… 6分

（2）
，∴
.

设直线AB的方程：
,

联立方程组
消去y得：
.……………… 8分

,

∴