山东师大附中2010级高三模拟考试

数学（文史类） 2013年1月4日

注意事项：

1. 本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。满分150分。考试时间120分钟.

2. 此卷内容主要涉及集合与简易逻辑、复数、函数与导数、三角函数、数列、不等式、立体几何、概率、推理与证明和算法内容。填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.

1．若全集为实数集
，集合
=

A．
B．
C．
D．

【答案】D

【解析】
，所以
，即
，选D.

2．设
，则
=

A．
B．1 C．2 D．

【答案】A

【解析】
,所以
，所以
，选A.

3．平面向量
，
共线的充要条件是

A.
，
方向相同 B.
，
两向量中至少有一个为零向量

C.
，使得
D. 存在不全为零的实数
，
，

【答案】D

【解析】对于选项D.若
，
为零向量，则满足
。若
为非零向量，对任意的向量
有
，即
。符合条件,所以选D.

4．若
，

A．
B．
C．
D．

【答案】A

【解析】
，因为
，所以
，选A.

5．设等差数列
的前
项和为

、
是方程
的两个根，

A．
B．5 C．
D．-5

【答案】A

【解析】因为
、
是方程
的两个根，所以
。又
，选A.

6. 已知两条直线
，
与两个平面
、
，则下列命题中正确的是

①若
，则
；②若
，则
； ③若
，则
；④若
，则
.

A．①③ B．②④ C．①④ D．②③

【答案】A

【解析】根据线面垂直的性质可知①正确。②中，当
时，也有可能为
，所以②错误。③垂直于同一直线的两个平面平行，所以正确。④中的结论也有可能为
，所以错误，所以命题正确的有①③，选A.

7．要得到函数
的图象，只需将函数
的图象

A．右移
个单位 B．右移
个单位 C．左移
个单位 D．左移
个单位

【答案】A

【解析】
,所以把函数
向右平移
个单位，可以得到函数
的图象，所以选A.

8．若实数
满足不等式组
则
的最大值是

A．11 B．23 C．26 D．30

【答案】D

【解析】做出可行域如图
，设
，即
，平移直线
，由图象可知当直线经过点D时，直线
的截距最大，此时
最大。由
解得
，即
，代入得
，所以最大值为30，选D.

9．按如下程序框图，若输出结果为
，则判断框内应补充的条件为

A．
B．
C．
D．

【答案】C

【解析】第一次循环有
.第二次循环有
.第三次循环有
。第四次循环有
，此时为输出结果，说明满足条件，故条件为
或
，所以选C.

10．若一个底面为正三角形的几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为

A．
B．
C．
D． 6

【答案】B

【解析】由三视图可知该几何体为正三棱柱，棱柱的高为4，底面正三角形的高为
，所以底面边长为6，所以几何体的体积为
，选B.

11．函数
的大致图象是

【答案】D

【解析】因为函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A,B.函数的导数为
，由
，得
，所以
，当
，
，函数单调递减，当
时，
，函数单调递增，所以当
时，函数取得极小值，选D.

12．函数
的零点所在的区间为

A.
B.
C.
D.

【答案】C

【解析】因为
，所以函数
的零点所在的区间为
，选C.

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数学（文史类） 2013年1月4日

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.

13．已知向量
，其中
，
都是正实数，若
，则
的最小值是_______.

【答案】4

【解析】因为
，所以
，即
。又
，所以
的最小值是4.

14．有4个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ．

【答案】

【解析】甲、乙两位同学各自参加其中一个小组共有16种，其中两位同学参加同一个兴趣小组有4种，所以两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
。

15．观察下列式子：
，…，根据上述规律，第n个不等式应该为

【答案】

【解析】等式的左边为连续自然数的倒数和，即
，不等式的右边为
，所以第n个不等式应该为
。

16．有下列四个命题：

① “若
，则
”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若
，则
有实根”的逆命题；

④“若
，则
”的逆否命题．

其中真命题的个数是___________________

【答案】1

【解析】①若
，则
”的逆命题为，若
，则
，所以错误。②全等三角形的面积相等”的逆命题为面积相等的三角形全等，错误。③
有实根，则有
，即
，当
时，
不成立，所以错误。④若
，则
，正确，所以它的逆否命题也正确，所以正确的有1个。

三、解答题：本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

已知函数

．

（1）求
的最小正周期；

（2）求
图象的对称轴方程和对称中心的坐标．

18．（本小题满分12分）

在锐角
中，
、
、
分别为角
、
、
所对的边，且

（1）确定角
的大小；

（2）若
＝
,且
的面积为

,求
的值．

19.（本小题满分12分）

在底面为平行四边形的四棱锥
中，
，
平面
，点
是
的中点.

（1）求证：
平面
； （2）求证：平面
⊥平面
.

20.（本小题满分12分） 已知等差数列
满足
＝0，
＝－10.

（1）求数列
的通项公式； （2）求数列
的前
项和．

21.（本小题满分12分）已知数列
中，
，前
项和为

（1）求数列
的通项公式；

（2）设数列
的前n项和为
，求满足不等式
的
值．

22.（本小题满分14分）已知函数
,其中
.

（1）若函数
在
上单调递增，求实数
的取值范围.

（2）当
时，
图象上任意一点处的切线的倾斜角为
，且
，求a的取值范围．

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2013年1月4日

数学（文史类）参考答案

一、选择题稿

DADAA AADCB DC

二、填空题

13．4 14．
15．
16．1

三、解答题

17.（本小题满分12分）

解：(1)
…4分

………6分

(2) 令
, 得

∴对称轴为
…………9分

令
， 得

∴对称中心为
………12分

18. （本小题满分12分）

解：（1）
锐角三角形中,由正弦定理得
,因为A锐角

又C锐角

---------------6分

(2)三角形ABC中，由余弦定理得

即
--------8分

　又由
的面积得
.

即
---------10分

由于
为正， 所以
---------12分

19．（本小题满分12分）

解：（1）连接BD交AC于F，连接EF，------------2分

在三角形DPB中，EF为中位线，

EF//PB, --------4分

又
，

平面
；--------6分

（2）

平面
，

------------8分

又
，

------------10分

------------12分

20．（本小题满分12分）

（1）解 设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得-- ----2分

解得------------4分

故数列{an}的通项公式为an＝2－n. ------------6分

(2)解法一：设数列的前n项和为Sn，

∵＝＝－，

∴Sn＝－.

记Tn＝1＋＋＋…＋， ①

则Tn＝＋＋＋…＋， ②

①－②得：Tn＝1＋