保密★启用前 试卷类型：A

高三数学（文科）

2013.01

本试卷共4页，分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题 共60分）

注意事项：

1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2.每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）全集U=R，集合
，则[UA=

（A）
（B）

（C）
（D）

【答案】B

，所以
，选B.

（2）已知
则
等于

（A）7 （B）
（C）
（D）

【答案】B

因为
所以
，即
.所以
，选B.

（3）如果等差数列
中，
，那么
等于

（A）21 （B）30 （C）35 （D）40

【答案】C

在等差数列中，由
得
。所以
，选C.

（4）要得到函数
的图象，只要将函数
的图象

（A）向左平移2个单位 （B）向右平移2个单位

（C）向左平移
个单位 （D）向右平移
个单位

【答案】D

因为
，所以只需将函数
的图象向右平移
个单位，即可得到
的图象，选D.

（5）“
”是“直线
与直线
垂直”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

【答案】A

若两直线垂直，则当
时，两直线为
与
，此时两直线垂直。当
，即
时，两直线为
与
，此时两直线相交不垂直。当
且
时，两直线的斜截式方程为
与
。两直线的斜率为
与
，所以由
得
，所以
是两直线垂直的充分不必要条件，选A.

（6）下列有关命题的说法正确的是

（A）命题“若
，则
”的否命题为“若
，则
”

（B）命题“
”的否定是“
”

（C）命题“若
，则
”的逆否命题为假命题

（D）若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题

【答案】D

“若
，则
”的否命题为“若
，则
”，所以A错误。“
”的否定是“
”所以B错误。若
，则
，原命题正确，所以若
，则
”的逆否命题为真命题，所以C错误。D正确，选D.

（7）设m，n是两条不同直线，
是两个不同的平面，下列命题正确的是

（A）
且
则

（B）
且
，则

（C）
则

（D）
则

【答案】B

A中直线
也有可能异面，所以不正确。B正确。C中
不一定垂直，错误。D当
相交时，结论成立，当
不相交时，结论错误。所以选B.

（8）函数
在
上的图象是

【答案】A

函数
为偶函数，所以图象关于
对称，所以排除D.当
时，
，排除B.当
时，
，排除C,选A.

（9）已知双曲线
的一条渐近线的斜率为
，且右焦点与抛物线
的焦点重合，则该双曲线的离心率等于

（A）
（B）
（C）2 （D）2

【答案】B

抛物线的焦点为
，即
。双曲线的渐近线方程为
，由
，即
，所以
，所以
，即
，即离心率为
，选B.

（10）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】D

该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥．其中底面ABCD是边长为4的正方形，高为CC1=4，该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的直径为
,所以球的半径为
,，所以球的表面积是
，选D.

（11）已知集合
，在区间
上任取一实数
，则“
”的概率为

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】C

,

，所以
，因为
，所以
。根据几何概型可知
的概率为
，选C.

（12）已知函数
，若
，则函数
的零点个数是

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

【答案】D

由
，得
。若
，则
，所以
或
，解得
或
。若
，则
，所以
或
，解得
或
成立，所以函数
的零点个数是4个，选D.

第II卷（非选择题 共90分）

注意事项：

1.将第II卷答案用0.5mm的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上。

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

（13）已知向量
，则向量
的夹角为 。

【答案】

因为
，所以
，所以
，所以
。

（14）已知三角形的一边长为4，所对角为60°，则另两边长之积的最大值等于 。

【答案】16

设另两边为
，则由余弦定理可知
，即
，又
，所以
，当且仅当
时取等号，所以最大值为16。

（15）已知
满足
，则
的最大值为 。

【答案】2

设
，则
。作出可行域如图
作直线
，平移直线
，由图象可知当直线
经过点D时，直线
的截距最下，此时
最大，把
代入直线
得
，所以
的最大值为2.

（16）若函数
满足
，对定义域内的任意
恒成立，则称
为m函数，现给出下列函数：

①
； ②
； ③
； ④

其中为
函数的序号是 。（把你认为所有正确的序号都填上）

【答案】②③

①若
，则由
得
，即
，所以
，显然不恒成立。②若
，由
得由
恒成立，所以②为
函数。③若
，由
得
，当
时，有
，
，此时成立，所以③为
函数。④若
，由
得由
，即
，即
，要使
恒成立，则有
，即
。但此时
，所以不存在
，所以④不是
函数。所以为
函数的序号为②③。

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）

已知函数
的最小正周期为
。

（I）求函数
的对称轴方程；

（II）若
，求
的值。

18.（本小题满分12分）

设数列
为等差数列，且
；数列
的前n项和为
，且
。

（I）求数列
，
的通项公式；

（II）若
，
为数列
的前n项和，求
。

19.（本小题满分12分）

如图，五面体中，四边形ABCD是矩形，DA
面ABEF，且DA=1，AB//EF，
，P、Q、M分别为AE、BD、EF的中点。

（I）求证：PQ//平面BCE；

（II）求证：AM
平面ADF；

20.（本小题满分12分）

M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作。

（I）求男生成绩的中位数及女生成绩的平均值；

（II）如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？

21.（本小题满分12分）

已知椭圆
的左焦点F为圆
的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为
。

（I）求椭圆方程；

（II）已知经过点F的动直线
与椭圆交于不同的两点A、B，点M（
），证明：
为定值。

22.（本小题满分14分）

函数
。

（I）若函数
在
处取得极值，求
的值；

（II）若函数
的图象在直线
图象的下方，求
的取值范围；

（III）求证：
。