高三年级考试

数学试题（文）

2013.1

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合
，则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为

A.
B.
C.
D.

【答案】C

阴影部分为
,所以
，
，所以
，选C.

2.如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的体积为

A.
B.
C.
D.1

【答案】A

由三视图可知，该几何体是四棱锥，底面为边长为1的正方形，高为1的四棱锥，所以体积为
，选A.

3.设
，则

A.

B.

C.

D.

【答案】A

,,
,,
，所以
，选A.

4.设向量
，若
，则
等于

A.
B.
C.
D.3

【答案】B

因为
，所以
，即
。所以
，选B.

5. “
”是“直线
和直线
互相垂直”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】C

当
时，直线
为
，此时两直线不垂直，所以
，所以
的斜率为
，若直线垂直，则有
，即
，所以“
”是“直线
和直线
互相垂直”的充要条件 ，选C.

6.下列函数
中，满足“对任意的
时，都有
”的是

A.
B.

C.
D.

【答案】C

由条件可知函数在
，函数
递增，所以选C.

7.函数
是

A.最小正周期为
的偶函数 B.最小正周期为
的奇函数

C.最小正周期为
的偶函数 D.最小正周期为
的奇函数

【答案】B

，所以周期
，所以函数为奇函数，所以选B.

8.下列命题正确的是

A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

【答案】C

A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以错误。B中，若三点共线，则两平面不一定平行，所以错误。C 正确。D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，所以错误。所以命题正确的为C,选C.

9.设
，函数
的图象可能是

【答案】B

由图象可知
。
，则
，排除A,C.，当
时，
，排除D,选B.

10．不等式组
所表示的平面区域的面积为

A.1 B.
C.
D.

【答案】D

做出不等式组对应的区域为
。由题意知
.
.由
，得
，所以
，选D.

11.以双曲线
的右焦点为圆心且与双曲线的线相切的圆的方程是

A.
B.

C.
D.

【答案】D

双曲线的右焦点为
，双曲线的渐近线为
，不妨取渐近线
，即
，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，即
，所以圆的标准方程为
，选D.

12.函数
（其中
）的图象如图所示，为了得到
的图象，则只需将
的图象

A.向右平移
个长度单位 B.向右平移
个长度单位

C.向左平移
个长度单位 D.向左平移
个长度单位

【答案】A

由图象可知
，
，即周期
，所以
，所以函数为
。又
，即
，所以
，即
，因为
，所以当
时，
，所以
。
，所以只需将
的图象向右平移
，即可得到
的图象，所以选A.

二、填空题

13.若双曲线
的一个焦点与抛物线
的焦点重合，则
的值为__________.

【答案】3

抛物线
的焦点为
，双曲线的一个焦点如抛物线的焦点重合，所以
。又
，所以
，即
。

14.下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第
个图形中小正方形的个数是___________.

【答案】

，所以
，

，等式两边同时累加得
，即
，所以第
个图形中小正方形的个数是

15.已知向量
满足
，则
的夹角为_________

【答案】

由
得
，即
，所以
，所以
，即
的夹角为
.

16.已知函数
的定义域为
，部分对应值如下表，
的导函数
的图像如图所示

若函数
有4个零点，则
的取值范围为__________.

【答案】

由导数图象可知，当
或
时，
，函数递增。当
或
时，
，函数递减。所以在
处，函数取得极小值。由
得
。
由图象可知，要使函数
有4个零点，由图象可知
，所以
的取值范围为
，即
。

三、解答题：

17.（本小题满分12分）

在等差数列
中，
，其前
项和为
，等比数列
的各项均为正数，
，公比为
，且
；

18.（本小题满分12分）

的内角A、B、C所对的边分别为
且

（I）求角C；

（II）求
的最大值.

19.（本小题满分12分）

如图，在
在AB上，且
，又
平面ABC，DA//PO，DA=AO=
.

（I）求证：PB//平面COD；

（II）求证：平面
平面COD.

20.（本小题满分12分）

小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该年每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第
年年底出售，其销售价格为25
万元（国家规定大货车的报废年限为10年）.

（I）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？

（II在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？）

（利润=累计收入+销售收入-总支出）

21.（本小题满分12分）

已知椭圆

的离心率为
、
分别为椭圆C的左、右焦点，过F2的直线
与C相交于A、B两点，
的周长为
.

（I）求椭圆C的方程；

（II）若椭圆C上存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形，求此时直线
的方程.

22.（本小题满分14分）

已知函数
.

（I）若函数
在区间
上为增函数，求
的取值范围；

（II）若对任意
恒成立，求实数
的最大值.