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数学（文倾）试题 2013.01

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，将第Ⅰ卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡上交。考试时间90分钟，满分100分。

注意事项：

1.答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案不能答在试题卷上。

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用涂改液、胶带、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分。

1.已知
，其中
为虚数单位，则

A.-1 B.1 C.2 D.3

【答案】D

由
得
，所以
，所以
，选D.

2．设全集
集合

A.｛1，2，3，4，6｝ B.｛1，2，3，4，5｝

C.｛1，2，5｝ D.｛1，2｝

【答案】D

,所以
，所以选D.

3.设
为偶函数“的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

若
为偶函数，则有
,所以
是
为偶函数的充分而不必要条件，选A.

4.为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是
，则下列说法正确的是

A.
，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛

B.
，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛

C.
，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛

D.
，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛

【答案】D

由茎叶图可知
，乙的数据集中在88左右，所以乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛，所以选D.

5.设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最小值和最大值分别为

A.-6，11 B.2，11 C.-11，6 D.-11，2

【答案】A

由
得
。做出可行域如图阴影部分，平移直线
，由图象可知当直线
经过点C时，直线
的截距最小，此时
最大，当
经过点
时，直线
的截距最大，此时
最小。由
得
，即
，又
，把
代入
得
，把
代入
得
，所以函数
的最小值和最大值分别为
，选A.

6.已知
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

【答案】C

,选C.

7.设a,b是不同的直线，
是不同的平面，则下列命题：

①若
②若

③若
④若

其中正确命题的个数是

A.0 B.1 C.2 D.3

【答案】B

①当
时
与
可能相交，所以①错误。②中
不一定成立。③中
或
，所以错误。④正确，所以正确的个数有1个，所以选B.

8.已知偶函数
在R上的任一取值都有导数，且
则曲线
在
处的切线的斜率为

A.2 B.-2 C.1 D.-1

【答案】D

由
得
可知函数的周期为4，又函数
为偶函数，所以
，即函数的对称轴为
，所以
，所以函数在
处的切线的斜率
，选D.

9.如果执行下面的程序框图，输出的S=110，则判断框处为

A.
? B.
？ C.
？ D.
?

【答案】C

由程序可知该程序是计算
，由
得
，则当
时，
不满足条件，所以条件为
，选C.

10.函数
的图象大致是

【答案】C

函数
为奇函数，所以图象关于原点对称，排除B.当
时，
，排除D.
,由
，得
，所以函数
的极值有很多个，所以选C.

11.已知
直线
与直线
互相垂直，则
的最大值等于

A.0 B.2 C.4 D.

【答案】B

若
，两直线方程为
和
，此时两直线相交。若
，两直线方程为
和
，此时两直线相交。所以当
时，两直线方程为
和
，此时两直线的斜率分别为
，由
得
。因为
，所以
，即
的最大值等2，当且仅当
时取等号。所以选B.

12.抛物线
与双曲线
有相同的焦点
，点A是两曲线的交点，且AF
x轴，则双曲线的离心率为

A.
B.
C.
D.

【答案】B

抛物线的焦点为
，即
。当
时，
，所以
，不妨取
，即
。又因为点A在双曲线上，所以
，即
，所以
，即
，解得
，所以双曲线的离心率为
，选B.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

填空题：本大题4个小题，每小题4分，满分16分。

13.等比数列
，
，前
项和为
.

【答案】

在等比数列中，
，所以
。

14.已知函数
，，且关于
的方程
有两个实根，则实数

的范围是

【答案】

当
时，
，所以由图象可知当要使方程
有两个实根，即
有两个交点，所以由图象可知
。

15.已知函数
，则
的最小值为 .

【答案】1

，因为
，所以
，所以
，即
，所以
，即
，所以
的最小值为1.

16.研究问题：“已知关于
的不等式
的解集为（1，2），解关于
的不等式
”，有如下解法：由
，令
，则
，所以不等式
的解集为
。类比上述解法，已知关于
的不等式

的解集为
，则关于
的不等式
的解集为 .

【答案】

，令
，因为关于
的不等式
的解集为
，因为
，所以
或
，即不等式
的解集为
。

解答题：本大题共6个小题，共74分。请把解答题答在答题卡限定的区域内，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（本小题满分12分）

已知
的角A、B、C，所对的边分别是a、b、c，且
，设向量

.

（1）若
，求B；

（2）若
，求边长c。

（本小题满分12分）

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，AB//EF，
，平面
.

（1）若G点是DC中点，求证：
.

（2）求证：
.

（本小题满分12分）

有六张纸牌，上面分别写有1，2，3，4，5，6六个数字，甲、乙两人玩一种游戏：甲先取一张牌，记下点数，放回后乙再取一张牌，记下点数。如果两个点数的和为偶数就算甲胜，否则算乙胜。

求甲胜且点数的和为6的事件发生的概率；

这种游戏规则公平吗？说明理由。

（本小题满分12分）

等差数列
中，
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前n项和